训练5 函数的性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

训练5　函数的性质 一、单项选择题 1．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝x－sin x C．y＝tan x D．y＝x3－x 答案　B 解析　y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误； y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R， 所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确； y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误； y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误． 2．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除D； f(1)＝0，排除A； 当0<x<1时，ln|－x|<0，x>sin x， 故有f(x)<0，排除C. 3．(2023·大连模拟)已知函数f(x)＝sin x－ax，对于任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有<0，则a的取值范围为(　　) A．a≤－1 B．a>1 C．a<－1 D．a≥1 答案　D 解析　由题意知，f(x)在定义域内单调递减， ∴f′(x)＝cos x－a≤0在x∈R上恒成立，即cos x≤a在x∈R上恒成立， ∴a≥1. 4．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]． 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2 ＝g(x)，所以g(x)为偶函数． 因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时， x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立， 即x1f(x1)－x>x2f(x2)－x恒成立， 即g(x1)>g(x2)， 所以g(x)在[0,3]上单调递减， 所以g(x)在[－3,0]上单调递增． 又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9， 所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2， 即g(a)<g(a－3)， 所以即 解得<a≤3， 故满足不等式的a的取值范围为. 二、多项选择题 5．函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，若当x∈[0,2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的周期为4 B．f(x)在[－4，－2]上单调递减 C．f(x)关于直线x＝－2对称 D．f(2 025)＝4 答案　ACD 解析　由f(x)＝f(－x)，f(2＋x)＝f(2－x)⇒f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x＋4)＝f(x＋2－2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，选项A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)在[－4，－2]上单调递增，故选项B错误；因为f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故选项C正确；因为函数f(x)是周期为4的偶函数，则f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝3＋2－1＝4，故选项D正确． 6．(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)有且仅有一个零点 B．f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减 C．f(x)的定义域为{x|x≠1} D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　ABC 解析　令f(x)＝0，即＝0，解得x＝－， 所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确； 函数f(x)＝＝3＋(x≠1)， 因为y＝在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确； 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确； 因为函数y＝的图象关于点(1,0)对称， 所以函数f(x)＝3＋的图象关于点(1,3)对称，故D错误． 三、填空题 7．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________． 答案　f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一) 解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 8．(2023·苏州模拟)设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足>0，若f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为______________． 答案　(－2,0)∪(2，＋∞) 解析　令F(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数， 可得F(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数， 由对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足>0， 可得F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由f(2)＝4，可得F(2)＝8， 所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝8， 不等式f(x)－>0，即为>0， 即>0， 可得或 即或 解得x>2或－2<x<0. 四、解答题 9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． (1)证明　由f ＝－f ， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f  ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期． (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2， 又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 10．(2024·山东师大附中模拟)函数f(x)＝为R上的奇函数，若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的取值范围． 解　由题意，函数f(x)＝为R上的奇函数， 令x＝0，得f(0)＝＝0， 即m＋m－2＝0， 解得m＝1，即f(x)＝， 又由k＝f(x)＝＝＝1－， 因为x∈(－∞，0)，所以1<2x＋1<2， 所以1>>，可得－1<f(x)<0， 所以k∈(－1,0)，即实数k的取值范围是(－1,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $