7.1.2 全概率公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7.1.2　全概率公式 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式，并会利用贝叶斯公式计算概率. 1.全概率公式 （1）定义：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）=P（Ai）P（B|Ai）. （2）全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）=P（A1B）+P（A2B）+…+P（AnB）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+…+P（An）P（B|An）. 2．贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ ＝ ，i＝1，2，…，n. |微|点|助|解| 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B|A）=乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A） 　　　　　　全概率公式 　　　 P（B）=P（Ai）P（B|Ai） 　　　　　　贝叶斯公式 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. （　　） （2）所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. （　　） （3）全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率. （　　） （4）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai=Ω. （　　） （5）若P（A）>0，P（）>0，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）. （　　） 答案：（1）√　（2）√　（3）√　（4）×　（5）√ 2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是 （　　） A.93% B.94% C.95% D.96% 解析：选A　买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. 3.一电器商店出售两家工厂生产的平板电脑，甲厂的平板电脑占70%，乙厂的平板电脑占30%.甲厂平板电脑的合格率为95%，乙厂平板电脑的合格率为80%，则该商店所售平板电脑的合格率为　　　　.  解析：设事件A=“合格平板电脑”，事件B=“甲厂平板电脑”，事件C=“乙厂平板电脑”，则P（B）=70%=0.7，P（A|B）=95%=0.95，P（C）=30%=0.3，P（A|C）=80%=0.8，P（A）=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905.故该商店所售平板电脑的合格率为90.5%. 答案：90.5% 题型（一）　全概率公式 [例1]　长假期间，某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选，第一条路堵车的概率为，第二条路堵车的概率为，第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率. 解：设事件Bi（i=1，2，3）表示“走第i条路”，事件A表示“堵车”. 则P（B1）=P（B2）=P（B3）=，P（A|B1）=，P（A|B2）=，P（A|B3）=， 所以P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=×+×+×=. 所以从甲地到乙地堵车的概率为. 　　|思|维|建|模| 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2（或A与）. （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. （3）求和：所求事件的概率P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）. 　　[针对训练] 1.已知A，B为两个随机事件，0<P（B）<1，若P（B）=0.4，P（B|A）=0.7，P（B|）=0.3，则P（A）= （　　） A. B. C. D. 解析：选D　由题意可得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=0.7P（A）+0.3P（）=0.7P（A）+0.3[1-P（A）]，即0.4=0.4P（A）+0.3，解得P（A）=. 2.某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%，等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 （　　） A.0.48 B.0.52 C.0.56 D.0.65 解析：选B　设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1，A2，“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B，依题意，得P（A1）=0.8，P（A2）=0.2，P（B|A1）=0.6，P（B|A2）=0.2，由全概率公式，得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B. 题型（二）　全概率公式的实际应用 [例2]　为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中，甲箱中有2道概念叙述题，2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）.现有A，B两个同学来抽题回答，每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）.两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱. （1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率； （2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率. 解：（1）设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i=1，2，则P（A1）=，P（A2|A1）=，P（A2|）=，所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）=×+×=. （2）设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”，事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”，事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”，事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题”， 则P（B1）==，P（B2）==， P（B3）===，P（C|B1）==， P（C|B2）==， P（C|B3）==， 所以P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）+P（B3）P（C|B3）=×+×+×=. 　　|思|维|建|模| 　　当直接求事件A发生的概率不易求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 　　[针对训练] 3.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）. （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率. 解：（1）依题意知，从甲袋8个球中取4个球有种取法，其中4个球中恰好有3个红球， 即恰好有3个红球、1个白球，有种取法， 所以4个球中恰好有3个红球的概率P==. （2）记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，A2为“从乙袋中取出2个红球”，B为“从甲袋中取出2个红球”， 则P（A1）==，P（A2）==， P（B|A1）==，P（B|A2）==， 所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=×+×=. 题型（三）　贝叶斯公式* [例3]　玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i（i=0，1，2）只残次品”，求： （1）顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P（A）； （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率P（B0|A）. 解：（1）由题设可知，P（B0）=0.8，P（B1）=0.1，P（B2）=0.1，且P（A|B0）=1，P（A|B1）==，P（A|B2）==，所以P（A）=P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=0.8×1+0.1×+0.1×=. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为P（B0|A）===， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 　　|思|维|建|模| 　　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，要熟记这个特征. 　　[针对训练] 4.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大? 解：设“抽查的人患有癌症”为事件C，“试验反应为阳性”为事件A，则“抽查的人不患癌症”为事件， 已知P（C）=0.005，P（）=0.995， P（A|C）=0.95，P（A|）=0.04， 由贝叶斯公式得P（C|A）= =≈0.106 6. 所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6. 学科网（北京）股份有限公司 $