6.1 第2课时 两个计数原理的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

第2课时　两个计数原理的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 　进一步理解两个计数原理的含义，正确应用两个计数原理解决数字排列、选（抽）取与分配、涂色（种植）等实际问题. 题型（一）　组数问题 [例1]　已知0，1，2，3，4，5这六个数字. （1）可以组成多少个数字不重复的三位奇数? （2）可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数? 解：（1）分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法； ②再选百位数字有4种选法； ③十位数字也有4种选法； 由分步乘法计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个. （2）分3类： ①一位数，共有6个； ②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5×5=25个； ③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有5×5×4=100个；因此，比1 000小的自然数共有6+25+100=131个. 　　[变式拓展] 1.本例条件不变，能组成多少个无重复数字的四位偶数? 解：组成无重复数字的四位偶数分为三类： ①当0在个位时，有5×4×3=60个. ②当2在个位时，首位有4种选法，十位、百位有4×3=12种选法，共有4×12=48个. ③当4在个位时，与②同理，共有48个. 故共有60+48×2=156个无重复数字的四位偶数. 2.本例条件不变，可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数? 解：分4类： ①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3=120个； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个； ③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个； ④5 420也满足条件； 故所求四位数共有120+48+6+1=175个. 　　|思|维|建|模| 数字排列问题的解题策略 （1）明确特殊位置或特殊数字，这是采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解. （2）要注意数字“0”不能排在两位数或两位数字以上的数的最高位. 　　[针对训练] 1.若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的种数为 （　　） A.28 B.29 C.30 D.32 解析：选C　被3除余1的数有1，4，7，被3除余2的数有2，5，8，被3整除的数有3，6，9，若要使选取的三个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，则取出的这三个数字的和能被3整除的种数为3×3×3+1+1+1=30种. 2.用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为 （　　） A.81 B.48 C.36 D.24 解析：选B　根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2=16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2=32个，故有16+32=48个四位数. 题型（二）　选（抽）取与分配问题 [例2]　（1）高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有 （　　） A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 （2）在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有　　　　种不同的选法.  解析：（1）法一　直接法　按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类： 第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3=9（种）； 第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3=27（种）. 综上所述，不同的分配方案有1+9+27=37（种）. 法二　间接法　先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4-3×3×3=37（种）方案. （2）考虑“多面手”参赛人数，分三类完成这件事： 第1类，“多面手”未参赛，即从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为3×2=6. 第2类，“多面手”中有1人参赛.①从“多面手”中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，选法种数为2×2=4；②从“多面手”中选1名参加围棋比赛，同时从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，选法种数为2×3=6.所以“多面手”中有1人参赛的选法种数为4+6=10. 第3类，“多面手”出2人，参加象棋和围棋比赛，有2种选法.根据分类加法计数原理，不同的选法种数为6+10+2=18. 答案：（1）C　（2）18 　　|思|维|建|模| 解决抽取（分配）问题的方法 （1）当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法或者图表法. （2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 　　[针对训练] 3.某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共4种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共6种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共7种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选购方法种数为 （　　） A.94 B.168 C.276 D.279 解析：选D　由条件知张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种.选购一种商品的方法有4+6+7=17种；选购两种商品的方法有4×6+4×7+6×7=94种；选购三种商品的方法有4×6×7=168种，由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数为17+94+168=279. 4.某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个学校至少派遣1名教师，若教师甲、乙去往不同的学校，则不同的派遣方案种数为 （　　） A.36 B.72 C.114 D.162 解析：选C　安排甲有3种方法，再安排乙有2种方法，因此安排甲、乙共有3×2种方法；余下3人，每人有3种安排方法，共有33种方法，除甲、乙去的学校外的学校无人去的情况有23种，所以不同的派遣方案种数为6×（33-23）=114. 题型（三）　涂色与种植问题 [例3]　（1）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则共有涂法 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A.18种 B.36种 C.54种 D.108种 （2）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示的五块试验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块试验田中，其他三块试验田选种水稻品种，则不同种法有 （　　） 1 2 3 4 5 A.30 240种 B.60 480种 C.120 960种 D.241 920种 解析：（1）把区域分成三部分，第一部分为1，5，9，有3种涂法. 第二部分为4，7，8.当5，7同色时，4，8各有2种涂法；当5，7异色时，有2种涂法，4，8均只有1种涂法.故第二部分共有2×2+2×1=6种涂法. 第三部分为2，3，6，与第二部分一样，共有6种涂法.因此根据分步乘法计数原理，共有3×6×6=108种涂法. （2）由题得相邻两块试验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类： 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块试验田种植水稻，分别有10，9，8种选择，所以共计7×6×10×9×8=30 240种； 第二、三、四类和第一类种数相同.综上总计有30 240×4=120 960种方法.故选C. 答案：（1）D　（2）C 　　|思|维|建|模| 解决涂色（种植）问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析. （2）以颜色（种植品种）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析. （3）对于种植问题，按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数；或按种植品种恰当进行分类，用分类加法计数原理计数. 　　[针对训练] 5.现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有 （　　） A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 解析：选D　如图， 假设4个区域为A，B，C，D，分4步进行分析：①对于A，有4种农作物供选择；②对于B，与A相邻，有3种农作物供选择；③对于C，与A，B相邻，有2种农作物供选择；④对于D，与B，C相邻，有2种农作物供选择.则不同的种植方法种数为4×3×2×2=48，故选D. 6.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有　　　　种.  解析：根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色. 先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择， 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择； 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择， 故不同的涂色方案有6×5×（4×4+5）=630种. 答案：630 学科网（北京）股份有限公司 $