第六章 必刷大题12 数列的综合问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

必刷大题12　数列的综合问题 1．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)． (1)求a1，a2，a3，a4； (2)求数列{an}的前2 024项和S2 024. 解　(1)因为数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n(2n－1)， 所以a1＝－1，a2＝3，a3＝－5，a4＝7. (2)由an＝(－1)n(2n－1)， 可得当n为奇数时，an＋an＋1＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝2， 所以S2 024＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋ (a2 023＋a2 024) ＝2＋2＋…＋2＝2×1 012＝2 024. 2．(2023·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝S5＝－20. (1)求an和Sn； (2)若数列3，，，…，构成等比数列，且k1＝8，求kn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝S5＝－20， 得方程组 解得 所以an＝－8＋2(n－1)＝2n－10， Sn＝＝n2－9n. (2)由(1)知an＝2n－10，所以＝2kn－10. 因为k1＝8，所以数列3，，，…，的公比q＝＝＝2. 所以＝2kn－10＝3×2n，所以kn＝3×2n－1＋5. 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝2an－1，n∈N+.数列{bn}为等差数列，b1＝a2，b4＝a4. (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Tn. 解　(1)∵Sn＝2an－1，Sn＋1＝2an＋1－1， 两式作差得an＋1＝2an，又a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 则an＝2n－1. 设{bn}的公差为d， 由b1＝a2＝2，b4＝a4＝8， 可得d＝＝＝2， ∴bn＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知，cn＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 两式作差得Tn＝1＋1＋＋＋…＋－＝1＋－＝3－. ∴Tn＝6－. 4．(2024·天津模拟)设数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N+. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前2 023项和T2 023. 解　(1)由Sn＝(n－1)2n＋1＋2，得a1＝2， Sn－1＝(n－2)2n＋2(n≥2)， 两式相减得an＝n·2n(n≥2)， 当n＝1时，代入上式，求得a1＝2， 所以an＝n·2n(n∈N+)． (2)由题知，bn＝＝2n， 所以数列{cn}为22，23，25，26，28，29，…， 它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列； 偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列， 所以T2 023＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 023)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 022)＝＋ ＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $