第六章 §6.4 数列中的构造问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§6.4　数列中的构造问题 重点解读　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式． 题型一　an＋1＝pan＋f(n)型 命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a) 例1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________. 答案　2·3n－1－1 解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 例2 若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N+，求数列{an}的通项公式． 解　设an＋1＋λ(n＋1)＋u＝2(an＋λn＋u)， 所以an＋1＝2an＋λn＋u－λ， 所以解得λ＝u＝－3， 又a1－3－3＝－5≠0， 所以＝2， 所以数列{an－3n－3}是以－5为首项，2为公比的等比数列， 所以an－3n－3＝－5·2n－1， 所以an＝－5·2n－1＋3n＋3. 命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 例3 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N+，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2n C．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n 答案　C 解析　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋2， ∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. 思维升华 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 跟踪训练1 (多选)已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若数列{an}满足Sn＝2an－1，则an＝2n B．若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n C．在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N+)，则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3 D．若a1＝2，an＝an－1＋n(n≥2)，则数列是等比数列 答案　BC 解析　∵Sn＝2an－1，① ∴S1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，② ①②两式相减得an＝2(an－an－1)(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)， ∴{an}为以1为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2n－1，故A错误； ∵2(n＋1)an－nan＋1＝0， ∴＝， ∴是首项为＝2，公比为2的等比数列， ∴＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故B正确； 由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)， 即＝2， 又a1＋3＝1＋3＝4，于是数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故C正确； 根据题意，an＝an－1＋n⇔－＝1，n≥2， 又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故D错误． 题型二　相邻两项的差为特殊数列(an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b) 例4 已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)． (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)． ∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)， ∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)解　由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)． 又∵a1－3＝2， ∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝－(－2)n＋3n. 思维升华 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 跟踪训练2　(2023·武汉联考)已知数列{an}，an＋1－3an＋2an－1＝0(n≥2，n∈N+)，a1＝1，a2＝4，证明数列{an＋1－an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 证明　由an＋1－3an＋2an－1＝0(n≥2，n∈N+)，得an＋1－an＝2(an－an－1)， 又a2－a1＝3，∴数列{an＋1－an}是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝3·2n－1， 当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3(2n－2＋2n－3＋…＋20)＋1＝3×＋1＝3(2n－1－1)＋1＝3·2n－1－2， 又a1＝1满足an＝3·2n－1－2， ∴an＝3·2n－1－2(n∈N+)． 题型三　倒数为特殊数列 例5 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N+)，求数列{an}的通项公式． 解　因为an＋1＝(n∈N+)， 所以＝＋1， 设＋t＝3， 所以3t－t＝1，解得t＝， 所以＋＝3， 又＋＝1＋＝， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝， 所以an＝. 思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an. 跟踪训练3 在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，则数列{bn}的通项公式bn＝________. 答案　 解析　bn＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝＋3， 因此＋3＝2，又＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝. 课时精练 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a1 000等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　an＋1＝两边同时取倒数， 得＝＋1，则－＝1， 故数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则＝n＋1，an＝， 故a1 000＝. 2．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，则an等于(　　) A．2n－1 B．3n－1 C． D． 答案　D 解析　由a1＝3，an＋1＝a知an>0， 对an＋1＝a两边取以3为底的对数得， log3an＋1＝2log3an， 则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log3an＝1·2n－1＝2n－1， 即an＝. 3．已知数列{an}中，a1＝1,2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案　C 解析　2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1， 显然an≠0， 两边同时除以an＋1an， 得－＝2， 又＝1， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以an＝. 4．已知函数{an}满足a1＝1，a2k＝a2k－1＋1，a2k＋1＝2a2k－1，k∈N+，则a2 023等于(　　) A．21 012 B．21 012－1 C．22 022 D．22 022－1 答案　B 解析　因为a2k＋2＝a2k＋1＋1＝2a2k－1＋1＝2a2k， 所以{a2k}是首项为a2＝a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以a2 022＝a2·21 010＝21 011， 则a2 023＝2a2 022－1＝21 012－1. 二、多项选择题 5．已知数列{an}，下列结论正确的有(　　) A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a3＝7 B．若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a4＝53 C．若Sn＝3n＋，则数列{an}是等比数列 D．若a1＝1，an＋1＝(n∈N+)，则a5＝ 答案　AB 解析　选项A，由a1＝2，an＋1＝an＋n＋1得a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋3＝7，故A正确； 选项B，由a1＝1，an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)， 所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列， 则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1，所以a4＝2×33－1＝53，故B正确； 选项C，由Sn＝3n＋，得a1＝S1＝，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18， 显然a≠a1a3，所以数列{an}不是等比数列，故C错误； 选项D，由an＋1＝，可得－＝， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝，则＝＝3，即a5＝，故D错误． 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N+)，则下列说法正确的有(　　) A．a1＝ B．S4＝ C．{an}是等比数列 D.是等比数列 答案　ABD 解析　由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2， 则a2＝3S1＋2＝3a1＋2， 所以a1＝，故A正确； 因为an＋1＝3Sn＋2，① 所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an， 当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1， 故数列{an}不是等比数列，故C错误； 当n≥2时，an＋1＝4an， 则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48， 故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确； 由an＋1＝3Sn＋2， 得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2， 所以Sn＋1＝4Sn＋2， 令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)， 则Sn＋1＝4Sn＋3λ， 所以3λ＝2，即λ＝， 所以Sn＋1＋＝4， 即＝4， 故是首项为S1＋＝a1＋＝1， 公比为4的等比数列，故D正确． 三、填空题 7．(2023·漳州联考)若正项数列{an}满足a1＝1，a＋an＋1an－6a＝0，则a＋a＋a＋…＋a＝________. 答案　 解析　由a＋an＋1an－6a＝0， 得(an＋1－2an)(an＋1＋3an)＝0， 又{an}是正项数列， 所以an＋1－2an＝0，即＝2， 则数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， an＝2n－1. a＝(2n－1)2＝22(n－1)＝4n－1， a＝1，＝＝4， 可得数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋a＋…＋a＝＝. 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且2Sn＝(n＋1)an，则an＝________. 答案　2n 解析　∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn－1＝nan－1(n≥2)， 两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1， 即＝(n≥2)， ∴数列为常数列， ∴＝＝2， ∴an＝2n. 四、解答题 9．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)cn＝，Sn是数列{cn}的前n项和，求Sn. 解　(1)由an＋1＝，得a－a＝1， 可知数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝. (2)cn＝＝＝－， Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 10．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2,3Sn＝an＋1－2n＋2＋2(n∈N+)． (1)当n∈N+时，写出an＋1与an之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式． 解　(1)因为3Sn＝an＋1－2n＋2＋2，① 所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n＋1＋2，② ①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)， 即an＋1＝4an＋2n＋1(n≥2)， 在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，也符合上式， 所以an＋1＝4an＋2n＋1. (2)因为an＋1＝4an＋2n＋1， 则an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0， 所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n. 学科网（北京）股份有限公司 $