第六章 §6.8 子数列问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§6.8　子数列问题 重点解读　子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维． 题型一　奇数项与偶数项问题 例1 数列{an}满足an＋1＋an＝3n，n∈N+，且a1＝1. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前20项和S20. 解　(1)∵an＋1＋an＝3n， ∴an＋an－1＝3(n－1)(n≥2)， 故an＋1－an－1＝3(n≥2)， 又a1＋a2＝3，∴a2＝2， ∴当n为偶数时，a2，a4，a6，…，an成等差数列， ∴an＝a2＋d＝2＋×3＝， 当n为奇数时，a1，a3，a5，…，an成等差数列， ∴an＝a1＋d＝1＋×3＝， 综上，an＝ (2)S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝5×(1＋28)＋5×(2＋29)＝300. 思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型． 跟踪训练1　(2024·深圳模拟)已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6. (1)求an； (2)数列{bn}满足bn＝Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3＝10，a5－2a2＝6， 则解得 所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2. (2)由(1)可得bn＝ 则T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(1＋22＋…＋22n－2)＋[1＋5＋…＋(4n－3)] ＝＋ ＝2n2－n＋， 所以T2n＝2n2－n＋. 题型二　数列的公共项 例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列． (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由Sn＝得， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1. 依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)， b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)， 解得b1＝2，所以bn＝2n. (2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…， 所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＝. 思维升华 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的最大项等于________． 答案　 解析　数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成的一个新数列为1,7,13，…，该数列是首项为1，公差为6的等差数列， 所以an＝6n－5，所以bn＝， 因为bn＋1－bn＝－＝， 所以当n≥2时，bn＋1－bn<0， 即b2>b3>b4>…， 又b1<b2， 所以数列{bn}的最大项为第二项，其值为. 题型三　数列增减项 例3 (2023·济南模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n. (1)求Sn； (2)在数列{an}的每相邻两项ak，ak＋1之间依次插入a1，a2，…，ak，得到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…，求{bn}的前20项和T20. 解　(1)对任意的n∈N+，因为S－S＝8n， 当n≥2时，S＝(S－S)＋…＋(S－S)＋S＝8(n－1)＋…＋8×1＋1 ＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2， 因为an>0，所以Sn>0，故Sn＝2n－1. 当n＝1时，S1＝a1＝1适合Sn＝2n－1， 所以Sn＝2n－1，n∈N+. (2)因为Sn＝2n－1，n∈N+， 所以当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2， 所以an＝ 所以数列{bn}的前20项分别为1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2， 所以{bn}的前20项是由6个1与14个2组成． 所以T20＝6×1＋14×2＝34. 思维升华 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项． 跟踪训练3 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝3，a2＝b2－2，a7＝b3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)在数列{an}中，去掉与数列{bn}相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前20项和． 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 由题意知an＝a1＋(n－1)d＝3＋nd－d， bn＝3qn－1， 故得a2＝3＋d，b2＝3q，a7＝3＋6d，b3＝3q2， 所以3＋d＝3q－2,3＋6d＝3q2， 联立消d得q2－6q＋9＝0， 所以q＝3，d＝4.所以an＝4n－1，bn＝3n. (2)因为a20＝79，令3n≤79， 解得n≤3，则有b1＝3，b2＝9，b3＝27， {an}的前20项中只有两项与{bn}相同，即3和27， 又a21＝83，a22＝87均不在数列{bn}中， 故{cn}的前20项和为 a2＋…＋a22－27＝×21－27＝960. 课时精练 1．已知公差为正数的等差数列{an}，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28. (1)求{an}的通项公式； (2)从{an}中依次取出第1项、第3项、第9项、…、第3n－1项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)， ∵a2与a8的等差中项为8，且a2＋a8＝2a5， ∴a5＝8. ∵a3a7＝(a5－2d)(a5＋2d)＝(8－2d)(8＋2d)＝28，∴d＝3(舍负)， ∴an＝a5＋(n－5)d＝8＋3(n－5)＝3n－7. (2)由(1)得＝3n－7，即bn＝3n－7， ∴Sn＝(3＋32＋33＋…＋3n－1＋3n)－7n＝－7n＝－7n. 2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝k∈N+. (1)求a2，a3；设bn＝a2n－2，n∈N+，证明数列{bn}是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列{an}前10项中所有奇数项的和． 解　(1)依题意，数列{an}满足a1＝1， an＋1＝k∈N+， 所以a2＝a1＋1＝， a3＝a2－4＝－4＝－. bn＝a2n－2，a2n＝bn＋2， bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋1－2 ＝a2n＋1＋2n＋1－2＝a2n＋1＋2n－1 ＝(a2n－4n)＋2n－1 ＝a2n－1＝(bn＋2)－1 ＝bn. 所以数列{bn}是首项为b1＝a2－2＝－2＝－，公比为的等比数列， 所以bn＝－. (2)a2n＝2－， a2n＋1＝a2n－4n＝2－－4n， 所以a5＝2－－8，a7＝2－－12， a9＝2－－16， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝1＋＋＋＋＝－. 3．(2023·无锡模拟)设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2－(3＋bn)n＋bn＝0(n∈N+)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)对每个正整数k，在ak与ak＋1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100. 解　(1)由题意，可得6a3＝8a1＋a5， 所以6q2＝8＋q4， 解得q2＝4或q2＝2， 又q为正整数，所以q＝2， 又a1＝2，所以an＝2n. 由2n2－(3＋bn)n＋bn＝0， 得bn＝2n. (2)因为b1＝2，所以a1与a2之间插入2个2， b2＝4，所以a2与a3之间插入4个2， b3＝6，所以a3与a4之间插入6个2， … 则{cn}的前100项，由90个2及a1，a2，a3，…，a9，a10构成，所以T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2×90 ＝＋180＝2 226. 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn－nan＝n，n∈N+，且a2＝3. (1)求证：数列(n≥2)是常数列； (2)求数列{an}的通项公式．若数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2，将数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排列得到数列{cn}，求{cn}的前n项和． (1)证明　由2Sn－nan＝n，得2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝n＋1， 将上述两式相减，得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝1， 即nan－(n－1)an＋1＝1. ∴ an＋1＝(n≥2)， ∵－＝－ ＝－＝0(n≥2)， ∴数列(n≥2)是常数列． (2)解　由(1)可知，当n≥2时，＝＝2， ∴an＝2n－1(n≥2)， 经检验，当n＝1时，an＝2n－1也适用， ∴ an＝2n－1(n∈N+)， ∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 又数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴这两个数列的公共项所构成的新数列{cn}是以1为首项，6为公差的等差数列， ∴{cn}的前n项和为n×1＋×6＝3n2－2n. 学科网（北京）股份有限公司 $