第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

培优点1　柯西不等式与权方和不等式 题型一　柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 3．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． 例1　已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值． 解　方法一　由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2] ＝(3x2＋2y2)≤11. 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 方法二　由柯西不等式得 |2x＋y|≤ ＝≤， 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. 思维升华　掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 跟踪训练1　设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________． 答案　4 解析　∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)， ∴a·b＝x－2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2， 即5×16≥(x－2y)2， ∴－4≤x－2y≤4，(*) 当且仅当b＝ka， 即时，(*)式中右边等号成立， 或时，(*)式中左边等号成立， ∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4. 题型二　权方和不等式 1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当＝＝…＝时等号成立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次． 例2　(1)若x>0，y>0，＋＝2，则6x＋5y的最小值为________． 答案　＋2 解析　＋＝＋＝＋≥＝， 即2≥，因为x>0，y>0， 则6x＋5y≥＋2， 当且仅当＝， 即x＝，y＝时取等号． (2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________． 答案　 解析　＋＋ ≥＝， 当且仅当＝＝， 即x＝y＝z＝时取等号． 思维升华　(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键． (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式． (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次． 跟踪训练2　(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案　27 解析　＋＝＋≥＝27，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． (2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则＋＋的最小值为(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案　D 解析　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2≥＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 1．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 答案　A 解析　∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12， ∴＋＝1， ∴(16＋9)≥(2x＋y)2， 即－5≤2x＋y≤5， 当且仅当3x＝8y， 即时，左边取等号， 当时，右边取等号， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则＋≥，当且仅当＝时，等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)＝＋的最小值为(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 答案　B 解析　因为a，b，x，y>0，则＋≥， 当且仅当＝时，等号成立， 又0<x<，即1－2x>0， 于是得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立， 所以函数f(x)＝＋的最小值为25. 3．若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A．14 B. C．29 D. 答案　B 解析　根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立． 4．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________． 答案　36 解析　＋＋＝＋＋≥＝36，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号． 5．f(x)＝＋的最小值为________． 答案　 解析　f(x)＝＋ ＝＋ ≥＝， 当且仅当＝， 即sin x＝±，cos x＝±时取等号． 6．若a>1，b>1，则＋的最小值为________． 答案　8 解析　＋≥， 令a＋b－2＝t， 则＝＝t＋＋4≥8， 当且仅当即a＝b＝2时取等号， 所以＋的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $