第一章 §1.2 常用逻辑用语（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（苏教版 提高版）

§1.2　常用逻辑用语 课标要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)存在量词：“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　√　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　√　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　) 2．(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈R，x＋2>0 C．綈p是真命题 D．綈p：∃x∈R，x＋2>0 答案　CD 解析　当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，故C正确． 3．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案　(－∞，3) 解析　由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3. 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当m∥n时，l⊥α， 当l⊥α时，m∥n， 综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件． (2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1时，上式也成立，显然无法得出a1>0，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 思维升华　充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)， 即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)， 故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝＋kπ，k∈Z. 则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件． (2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件． 题型二　充分、必要条件的应用 例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． 典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________． 答案　(1，＋∞) 解析　由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1. 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}． (1)若m＝3，求A∪B； (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)依题意，得2－2≤2x≤25， 解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0， 得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}， 所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}． (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 则有AB， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 则有BA， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5， 解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， 所以正实数m的取值范围是0<m≤3. 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词的命题的否定 例3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 答案　ABC 解析　对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________. 答案　至少有一个实数是无理数 命题点2　含量词的命题的真假判断 例4　(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 答案　ACD 解析　指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确． 命题点3　含量词的命题的应用 例5　(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 答案　B 解析　由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知， 不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]， 易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]． (2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　ABC 解析　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题， 则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1， 符合条件的为A，B，C选项． 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是(　　) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 答案　C 解析　对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝2＋≥>0，故D错误． (2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　) A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m” B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0” C．当命题p为真命题时，1≤m≤2 D．当命题q为假命题时，a<4 答案　ACD 解析　命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋恒成立，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．命题“∃x>0，sin x－x≤0”的否定为(　　) A．∀x≤0，sin x－x>0 B．∃x>0，sin x－x≤0 C．∀x>0，sin x－x>0 D．∃x≤0，sin x－x>0 答案　C 解析　由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题， 其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0. 2．下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：ab≠0，q：a≠0 B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q：> 答案　A 解析　对于A，ab≠0⇔⇒a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0⇔⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若b<a<0，则不能推出>，故p不是q的充分条件． 3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行， 则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3， 经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行． 即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件． 4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 答案　C 解析　由>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1， 记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(－∞，0]． 5．下列说法正确的是(　　) A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0” D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3] 答案　D 解析　是无理数，x2＝2是有理数，A错误； 当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误； 命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误； “1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确． 6．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，则0<4－3a<1，即1<a<.∵(－2,2)，∴p是q的必要不充分条件． 7．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．－4<a<0 B．－4≤a<0 C．－4<a≤0 D．－4≤a≤0 答案　C 解析　命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题， 当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意； 当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0. 综上可知，－4<a≤0. 8．(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　C 解析　方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即－＝＝为常数，设为t， 即＝t， 则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)， 有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn， 即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 设数列的公差为D， 则－＝D，＝S1＋(n－1)D， 即Sn＝nS1＋n(n－1)D， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D， 所以an＝a1＋2(n－1)D， 当n＝1时，上式成立， 又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 二、多项选择题 9．下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R,2x＜x2 D．∀x∈(0，＋∞)，x＞ 答案　AC 解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝时，∈(0,1)，＝1，∴，故D为假命题． 10．下列命题中正确的是(　　) A．“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件 B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0” C．“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0” D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3” 答案　BCD 解析　对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立， 由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误； 对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2， 则解得m<0，满足必要性， 当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性， 所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确； 对于C，若幂函数y＝为反比例函数，则解得m＝0，满足必要性， 当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性， 所以“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确； 对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1<m<3， 所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确． 三、填空题 11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案　充要 解析　在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B， 故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件． 12．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________. 答案　存在一个素数不是奇数 解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数． 13．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案　(0，＋∞) 解析　由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}； 由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1， 即q: x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即2a＋1>1， 解得a>0， 所以a的取值范围是(0，＋∞)． 14．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案　必要不充分条件 解析　由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件． 15．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设等比数列的公比为q， 若a2 021<a2 024， 则a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0. 因为a1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0， 所以q3>1，所以q>1； 若a2 023<a2 025，则a2 023－a2 025<0， 即a2 023(1－q2)<0. 因为a1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0， 所以q2－1>0，解得q>1或q<－1. 所以“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的充分不必要条件． 16．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　依题意知f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)＝x＋在上单调递减， ∴f(x)max＝f ＝. 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增， ∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. 学科网（北京）股份有限公司 $