第二章 §2.10 函数的图象（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.10　函数的图象 课标要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 知识梳理 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 常用结论 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　×　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　) 2．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　由于f ＝<0，故D错误， 当x→＋∞时，f(x)→0，A，B错误． 3．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的， 函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点． 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 答案　e－x＋1 解析　由题意可知f(x)＝e－x， 把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象． 题型一　作函数图象 例1　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝|x－1|－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝|x|＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝|x－1|－1的图象如图所示． 思维升华 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 跟踪训练1　作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解　(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． 题型二　函数图象的识别 例2　(1)(2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案　C 解析　由题意知函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A； 因为f(1)＝>0，故排除B； 因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，故排除C. 思维升华 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝sin x的部分图象为(　　) 答案　D 解析　因为f(x)＝sin x，所以f(0)＝0，故排除A和B； 又f ＝＋1<2，故排除C，而D满足． (2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　) 答案　B 解析　函数f(x)＝ 所以y＝g(x)＝f(1－x)＝ 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0， 故A，C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减， 故D错误，B正确． 题型三　函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 答案　AB 解析　因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误． 命题点2　利用图象解不等式 例4　(2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)． 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例5 (2023·保定联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点， 则f(x)＝a有三个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0,1)； 当－1<x≤0时，f(x)＝3x＋1－1在(－1,0]上单调递增，f(x)∈(0,2]； 当x>0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示． 由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1)． 思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为. (3)(多选)记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}，则以下实数m的取值范围中，满足f(m)<1的有(　　) A．(－1,4) B．(－1,1) C．(3,4) D．(4，＋∞) 答案　BC 解析　函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}的图象如图所示． 由⇒⇒A(4,1)， 由⇒⇒B(－1,1)， 由－x2＋4x－2＝1，得x＝1或x＝3， 由图象可知，当－1<m<1或 3<m<4时，f(m)<1，因此选项B，C符合题意． 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6 C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2 答案　C 解析　函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象， 再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象． 2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一　(特值法) 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1) ＝－cos 1<0.结合选项知A正确． 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x) ＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数， 排除B，D； 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故A正确． 3．(2024·温州模拟)函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则该函数可能是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案　B 解析　4个选项中函数的定义域均为R，对于A，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，f(4)＝>0； 对于B，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，f(4)＝<0； 对于C，f(x)＝，f(－x)＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，f(4)＝<0； 对于D，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，f(4)＝<－1.由图知f(x)为奇函数，故排除C；由f(4)<0，故排除A，由f(4)>－1，故排除D. 4．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是(　　) A．1－f(x) B．－f(2－x) C．f(－x)－1 D．1－f(－x) 答案　C 解析　由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2， 将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数 y＝f(－x)的图象， 再向下平移1个单位长度，可得y＝f(－x)－1的图象， 所以题图2所表示的函数是y＝f(－x)－1. 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 答案　B 解析　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示， 由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)， 即不等式f(x)>0的解集是(0,1)． 6．(2023·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是(　　) A．y＝(x＋2)sin 2x B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　A选项，设f(x)＝(x＋2)sin 2x， 则当x∈时，2x∈(π，2π)， 则f(x)<0，不符合图象，排除A； C选项，设f(x)＝， 当x∈(0，π)时，f(x)＝， 且2<x＋2<π＋2,0<sin x≤1,1<x＋1<π＋1， 所以0<(x＋2)sin x<π＋2. 所以f(x)＝<(x＋2)sin x<π＋2<6，不符合图象，排除C； D选项，设f(x)＝， 令f(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，不符合图象，排除D. 二、多项选择题 7．(2023·宜春模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　) A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．abc<0 答案　BCD 解析　由图知f(0)＝>0，所以b<0，B正确； 当x＝－c时，函数f(x)无意义， 由图知－c<0，所以c>0，C正确； 令f(x)＝0，解得x＝，由图知<0， 又因为b<0，所以a>0，A错误； 综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确． 8．(2024·南京模拟)若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法错误的是(　　) A．函数f(x)为奇函数 B．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．f(x)min＝－4 D．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 答案　ABD 解析　由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)， 可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4， 当x<1时，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，则f(x)＝f(2－x)＝x2－4， 所以f(x)＝ 作出f(x)＝的图象，如图所示， 所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减， f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确． 三、填空题 9．把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为____________． 答案　y＝2(x＋1)2＋3 解析　把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象． 10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________. 答案　1 解析　f(x)＝＝a＋， 关于点(1，a)对称，故a＝1. 四、解答题 11．已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况． 解　(1)当x≤0时，0<2x≤1， 则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)， 作出函数f(x)的图象，如图所示． (2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)， 则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数，如图所示． 当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根； 当0<m<1或m≥2时，方程f(x)－m＝0只有一个实根； 当1≤m<2时，方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根． 12．已知函数f(x)＝ax－2的图象经过点，其中a>0且a≠1. (1)若f(t＋2)＝3，求实数a和t的值； (2)设函数g(x)＝请在平面直角坐标系中作出g(x)的简图， ①根据图象写出该函数的单调递增区间； ②求g(x)≤1的解集． 解　(1)由题意可得f(1)＝a－1＝， 解得a＝2，则f(x)＝2x－2， 所以f(t＋2)＝2t＝3，可得t＝log23. (2)由(1)可得g(x)＝作出函数g(x)的图象，如图所示． ①由图可知，函数g(x)的单调递增区间为[－1,0]，(0，＋∞)． ②当x≤0时，由g(x)＝|x＋1|≤1， 可得－1≤x＋1≤1， 解得－2≤x≤0，此时－2≤x≤0； 当x>0时，由g(x)＝2x－1≤1，可得2x≤2， 解得x≤1，此时0<x≤1. 综上所述，不等式g(x)≤1的解集为[－2,1]． 13．(2023·赤峰模拟)若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为(　　) A．4－ B．2＋ C．4＋ D．2－ 答案　C 解析　作出函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象，如图所示， 当x≥0时，令x(x－2)＝3， 得x1＝－1(舍)，x2＝3， 当x<0时，令x(－x－2)＝－1， 得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)， 结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 14．(2024·抚顺联考)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范围是________． 答案　(－5，－4) 解析　由f(x)＝0，得a＝ 作出函数g(x)＝的图象，如图所示． 由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点， 从而f(x)有3个零点， 但x2－4x－a>0对x>0恒成立，则a<－4， 故a∈(－5，－4)． 学科网（北京）股份有限公司 $