第二章 §2.9 指、对、幂的大小比较（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.9　指、对、幂的大小比较 重点解读　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1　设，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 答案　C 解析　因为函数y＝x为增函数， 所以，即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以，即b<c，故c>b>a. 命题点2　找中间值 例2　(2023·无锡模拟)已知a＝log72，b＝，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　∵0＝log71<log72<log7＝， ∴0<a<， ∵＝log0.70.1>log0.70.7＝1，∴b>1， ∵1＝0.60>0.60.4>0.50.4>0.51＝， ∴<c<1.∴a<c<b. 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝， 则，∴ac>bc，故A错误； ∴abc>bac，故B错误； logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2， alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误． 思维升华 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 跟踪训练1　(1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 答案　C 解析　由y＝0.3x为减函数， 得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1， 由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0， ∴c<a<b. (2)(2023·镇江模拟)若，b＝log2，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 答案　B 解析　∵a＝>20＝1，且b＝log2<log21＝0， 又∈，∴c＝sin∈(0,1)，∴a>c>b. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例4　(1)设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 答案　D 解析　∵＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋，＝log540＝1＋log58＝1＋＝1＋， ∴－＝－＝＝＝<0， ∴<， 又b>0，c>0，∴b>c； ∵＝1＋log58<1＋log5＝1＋＝，∴c>， ∵＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋＝，∴a<， ∴a<c.∴a<c<b. (2)(2024·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b 答案　A 解析　∵a＝log34＝，b＝log45＝， c＝log56＝， ∴a－b＝－＝>＝ ＝>0， ∴a>b， 又b－c＝－＝>＝ ＝>0， ∴b>c，故a>b>c. 命题点2　作商法 例5　已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　B 解析　∵y＝0.3x是减函数，∴0.30.3>0.30.4，即b>c>0，又＝0.3＝0.3>1，即a>b，∴a>b>c. 命题点3　乘方法 例6 已知a＝log35，b＝log57，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b 答案　D 解析　因为53＝125>＝81，所以5>， 所以log35>＝，即a>c. 因为73＝343<＝625，所以7<， 所以log57<＝，即b<c.所以a>c>b. 命题点4　对数法 例7 已知a＝2 023，b＝2 024， 则a，b的大小关系为________________． 答案　a<b 解析　构建函数f(x)＝xln(x>0)， 则f′(x)＝ln－， 令g(x)＝ln－(x>0)， 则g′(x)＝－<0， 可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又当x→＋∞时，f′(x)→0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(2 024)>f(2 023)，即a<b. 思维升华 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式． 跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案　B 解析　因为a＝2100， 所以lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， 因为b＝365， 所以lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， 因为c＝930＝360， 所以lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，所以b>a>c. (2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y 答案　A 解析　令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以＝＝·＝>1， 则2x>3y， ＝＝·＝<1，则2x<5z. 所以3y<2x<5z. 课时精练 一、单项选择题 1．设，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 答案　D 解析　因为函数y＝x为减函数， 则0<a＝<0＝1， 因为函数y＝x为增函数， 则b＝>0＝1， 因为函数y＝为减函数， 则，因此b>a>c. 2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 3．若a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 答案　B 解析　因为a＝log0.30.2>log0.30.3＝1， b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1， 又b－c＝log32－log3020＝－＝<0，所以b<c， 所以b<c<a. 4．(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A．x>y>z B．y>x>z C．z>x>y D．x>z>y 答案　A 解析　因为3x＝4y＝10，则x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2， 即1<y<2，所以x>y>1， 从而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z. 5．已知a＝log32，b＝log43，c＝sin ，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 答案　D 解析　c＝sin ＝，因为函数y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 则a＝log32>log3＝，b＝log43>log42＝. a－b＝－＝， 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2＋ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2. 故a<b，综上，b>a>c. 6．已知log4m＝，log12n＝，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 答案　A 解析　由log4m＝，得m＝<2， 由log12n＝，得n＝， ＝因此2>m>n； 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 7．已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8， 则f′(x)＝－ln x＋－1， f′(x)＝－ln x＋－1在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[8，＋∞)上恒成立， 故f(x)＝(18－x)ln x在[8，＋∞)上单调递减， 所以f(8)>f(9)>f(10)， 即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108， 所以810>99>108，即a>b>c. 二、多项选择题 8．(2023·十堰模拟)设a＝160.3，b＝90.6，c＝，则(　　) A．a>c B．b>c C．a>b D．b>a 答案　ABD 解析　因为a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2>21.2>21＝2，即b>a>2. 因为c＝＝log23<log24＝2， 所以b>a>c. 9．若a＝log45，b＝，c＝eln 2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为(　　) A．a<b B．b<a C．c<b D．b<c 答案　AD 解析　a＝＝log25＝log2，b＝＝log23，所以根据对数函数y＝log2x的图象与单调性知log22<a<b<log24， 即1<a<b<2，c＝eln 2＝2，所以a<b<c. 10．已知实数a，b，c满足＝2b＝log2c，则a，b，c的大小关系可能成立的是(　　) A．c>b>a B．c>a>b C．a>c>b D．a>b>c 答案　ABC 解析　设＝2b＝log2c＝t，作出函数y＝，y＝2x，y＝log2x的图象，如图所示．设函数y＝2x与函数y＝图象的交点为点A，函数y＝log2x与函数y＝图象的交点为点B. ①当直线y＝t在点A的上方时，由图象可得a<b<c，A选项满足条件； ②当直线y＝t在点A的下方，且在点B的上方时，由图象可得b<a<c，B选项满足条件； ③当直线y＝t在点B的下方，且在x轴的上方时，由图象可得b<c<a，C选项满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $