第二章 §2.8 对数与对数函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.8　对数与对数函数

课标要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

 知识梳理

1．对数的概念

如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数．

以10为底的对数叫作常用对数，记作 lg_N.

以e为底的对数叫作自然对数，记作 ln_N.

2．对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．

(2)对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．

 

3．对数函数的图象与性质

 

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．

2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)

(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)

(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．(　×　)

(4)函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称．(　√　)

2．(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于(　　)

A．9  B．3  C.  D.

答案　A

解析　xlog32＝1，

即x＝＝log23，

所以4x＝

3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　)

答案　A

解析　f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，

因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，

所以f(x)是偶函数，

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增．

结合选项可知选A.

4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

答案　(2,4)

解析　对于函数y＝loga(x－1)＋4，

令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，

所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).

题型一　对数式的运算

例1　(1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为________．

答案　45

解析　由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.

则a＝log3m＝，b＝log5m＝，

所以＝，＝，

由＋＝1，

可得＝＝logm45＝1，