第二章 §2.8 对数与对数函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.8　对数与对数函数 课标要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识梳理 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 以10为底的对数叫作常用对数，记作 lg_N. 以e为底的对数叫作自然对数，记作 ln_N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． 2.如图，给出4个对数函数的图象．则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数．(　×　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称．(　√　) 2．(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于(　　) A．9 B．3 C. D. 答案　A 解析　xlog32＝1， 即x＝＝log23， 所以4x＝ 3．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 答案　A 解析　f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}， 因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)， 所以f(x)是偶函数， 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增． 结合选项可知选A. 4．已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案　(2,4) 解析　对于函数y＝loga(x－1)＋4， 令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4， 所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4). 题型一　对数式的运算 例1　(1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且＋＝1，则实数m的值为________． 答案　45 解析　由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1. 则a＝log3m＝，b＝log5m＝， 所以＝，＝， 由＋＝1， 可得＝＝logm45＝1， 所以m＝45. (2)计算：log535＋－log5－log514＝________. 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋ ＝log5＋ ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 跟踪训练1　(1)若a>0，＝，则等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由＝，得a2＝6， 而a>0，解得a＝3， 所以 (2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝_____________. 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2 ＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2. 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案　A 解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1. 综上，0<a－1<b<1. (2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10,12] B．(10,12] C．(10,12) D．[10,12) 答案　C 解析　不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图象可知0<a<1<b<10<c<12， 由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|， 即－lg a＝lg b， ∴lg ab＝0，则ab＝1， ∴abc＝c，又10<c<12， ∴abc的取值范围是(10,12)． 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练2　(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 答案　C 解析　对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　) 答案　D 解析　由函数y＝ax的图象可得a>1. 当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数． 因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称， 所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数． 而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的， 所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D. 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3　已知a＝log20.3，b＝ln 3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b 答案　B 解析　∵a＝log20.3<log21＝0， b＝ln 3>ln e＝1， 0＝log31<log32<log33＝1， 即0<c<1，∴b>c>a. 命题点2　解对数方程、不等式 例4　(2023·衡阳模拟)若loga<2，则a的取值范围是(　　) A.∪(1，＋∞) B. C. D.∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为loga<2， 所以loga<logaa2. 当0<a<1时，对数函数为减函数， 所以>a2， 可得0<a<； 当a>1时，对数函数为增函数， 所以<a2，可得a>1， 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)． 命题点3　对数函数的性质及应用 例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 答案　D 解析　由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|， 得f(x)的定义域为，关于坐标原点对称， 又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时， f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)， ∵y＝ln(2x＋1)在上单调递增， y＝ln(1－2x)在上单调递减， ∴f(x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ ln(1－2x)＝ln＝ln， ∵u＝1＋在上单调递减，f(u)＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，故D正确． 思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． 跟踪训练3　(1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 答案　A 解析　由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． (2)若函数f(x)＝loga有最大值，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D．(1,2) 答案　B 解析　令t＝x2－2ax＋a－1， 根据复合函数的单调性，要使函数f(x)＝loga有最大值， 则函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值，且函数f(t)＝logat为减函数， 可知0<a<1. 要使函数t＝x2－2ax＋a－1有最小正值， 则Δ＝4a2－4<0， 解得<a<2. 综上，a的取值范围为. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·哈尔滨模拟)函数y＝的定义域为(　　) A．[1，＋∞) B. C. D. 答案　C 解析　函数y＝的定义域满足 即解得<x≤1， 故函数的定义域为. 2．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)， 则a＝3，所以f(x)＝log3x， 于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1. 3．若，则x1与x2的关系正确的是(　　) A．0<x2<x1<1 B．0<x1<x2<1 C．1<x1<x2 D．1<x2<x1 答案　C 解析　因为 所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81， 又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减， 所以1<x1<x2. 4.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 答案　D 解析　因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数， 所以0<a<1， 又因为函数图象与x轴的交点在正半轴， 所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1， 又因为函数图象与y轴有交点， 所以b<0，所以－1<b<0. 5．(2024·通化模拟)设a＝log0.14，b＝log504，则(　　) A．2ab<2(a＋b)<ab B．2ab<a＋b<4ab C．ab<a＋b<2ab D．2ab<a＋b<ab 答案　D 解析　因为a＝log0.14，b＝log504， 所以a<0，b>0，所以ab<0， ＋＝log40.1＋log450＝log45∈(1,2)， 即1<＋<2， 所以2ab<a＋b<ab. 6．(2023·银川模拟)当0<x<时，<logax(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得当0<x<时，y＝的图象位于y＝logax图象的下方， 因为y＝在上单调递增， 所以 即 所以 可得≤a<1. 二、多项选择题 7．(2023·西宁模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－2,4) B．f(x)在区间(－2,1)上单调递增 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 答案　ABD 解析　令解得－2<x<4， 所以f(x)的定义域为(－2,4)，故A正确； 函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x) ＝ln[(x＋2)(4－x)] ＝ln(－x2＋2x＋8)(－2<x<4)， 令t＝－x2＋2x＋8，则函数t＝－x2＋2x＋8 在(－2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减， 又y＝ln t是增函数， 所以f(x)在(－2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，故B正确，C错误； 又t＝－x2＋2x＋8的图象关于直线x＝1对称， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确． 8．(2023·济宁模拟)若10a＝2,10b＝5，则下列结论中正确的是(　　) A．a＋b＝1 B．5a<2b C．5a<2b D．2a＋2b>2 答案　AD 解析　由题意可得a＝lg 2，b＝lg 5， 所以a＋b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故A正确； 5a＝5lg 2＝lg 25＝lg 32,2b＝2lg 5＝lg 52＝lg 25， 所以5a>2b，故B不正确； 因为5a·2a＝10a＝2,2b·2a＝2a＋b＝2， 所以5a·2a＝2b·2a， 所以5a＝2b，故C不正确； 2a＋2b>2＝2＝2，故D正确． 三、填空题 9．计算：lg 25＋lg 8－log227×log32＋＝________________. 答案　2 解析　原式＝2lg 5＋2lg 2－3log23×log32＋3 ＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2. 10．设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，则f(x)的最大值为________． 答案　12 解析　f(x)＝log2(4x)·log2(2x) ＝(log24＋log2x)(log22＋log2x) ＝(2＋log2x)(1＋log2x)， 令t＝log2x，∵≤x≤4，∴－2≤t≤2， 则g(t)＝(2＋t)(1＋t)＝t2＋3t＋2＝2－， ∴当t＝2时，g(t)取得最大值12， 即f(x)的最大值为12. 四、解答题 11．(2024·武威模拟)已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋<m恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)因为f(x)＝的图象关于原点对称， 所以该函数为奇函数， 所以其定义域也关于原点对称， 由题可知>0， 即(1－ax)(x－1)>0，要使定义域关于原点对称，显然a≠0， 令(1－ax)(x－1)＝0， 解得x1＝1，x2＝， 由定义域关于原点对称可知x1＋x2＝0， 所以a＝－1，经检验，a＝－1成立． (2)由题可知f(x)＋ 因为x∈(1，＋∞)， 所以 又因为f(x)＋<m恒成立， 所以m≥－1， 即实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 12．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数． (1)求k的值； (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)． 解　(1)∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x， ∴k＝－1. (2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)， 则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0， 由7·3x－1>0，解得x>－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1， 得6·(3x)2－3x－1≤0， 得0<3x≤， 即x≤－log32， 综上，不等式的解集为{x|－log37<x≤－log32}． 13．已知5a＝2，4b＝n，若ab＝，则n的值为(　　) A. B．5 C．5 D．25 答案　D 解析　由题设a＝log52＝＝， b＝log4n＝＝， 所以ab＝·＝， 则ln n＝2ln 5，即n＝25. 14．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 答案　D 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0， 则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt， 由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z， 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z， 故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列， 则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即t＋t＝1， 令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点， 即t＋t＝1只有一个解t＝1， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $