第二章 §2.7 指数与指数函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.7　指数与指数函数 课标要求　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 知识梳理 1．根式 (1)若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． (2)式子(n∈N，n≥2)叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N，n≥2)． 正数的负分数指数幂：＝ ＝(a>0，m，n∈N，n≥2)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而使指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，这叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即a0＝1 在R上递增 在R上递减 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝－4.(　×　) (2)2a·2b＝2ab.(　×　) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) 2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 3．已知关于x的不等式x－4≥3－2x，则该不等式的解集为(　　) A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4,1] 答案　A 解析　不等式x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x， 由于y＝3x是增函数， 所以4－x≥－2x，解得x≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞)． 4．(2023·福州质检)＋0＋×－4＝________. 答案　5 解析　＋0＋×－4 ＝－4＋1＋0.5×16＝5. 题型一　指数幂的运算 例1　计算： (1)0.5－2×－2×0＋－2； (2)2×3×. 解　(1)原式＝ ＝－2×－2＋ ＝－－2＋＝－. (2)原式＝ ＝6×3＝18. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1　(多选)下列计算正确的是(　　) A.＝ B． C.＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 答案　BC 解析　对于A，＝＝＝≠，所以A错误； 对于B， 所以B正确； 对于C，＝＝，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误． 题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 答案　ABC 解析　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案　(0,2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0,2)． 思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>1 D．0<b<1 答案　BD 解析　观察图象得，函数f(x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1,0<b<1. 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3　(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 答案　D 解析　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4　(2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围可以是(　　) A．[2,4] B．(－∞，0) C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2] 答案　D 解析　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. 又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5　已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解　(1)f(x)＝·2x＋， 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 即·＋2x＝－， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知a＝－1， 所以f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 令t＝2x，t∈[2,4]， 设y＝＋2x，则y＝t＋，t∈[2,4]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 所以实数m的取值范围是. 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练3　(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1,1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案　ABC 解析　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝＝1－， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确； 因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝是减函数， 所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确． (2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 答案　或 解析　当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增， 由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝， 解得a＝或a＝0(舍去)； 当 0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减， 由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝， 解得a＝或a＝0(舍去)， 综上所述，a＝或 a＝. 课时精练 一、单项选择题 1．下列结论中，正确的是(　　) A．若a>0，则＝a B．若m8＝2，则m＝± C．若a＋a－1＝3，则＝± D.＝2－π 答案　B 解析　对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得当a＝1时，＝a；当a≠1时，≠a，故A错误； 对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确； 对于C，a＋a－1＝3，则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以＝，故C错误； 对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误． 2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)， 因为a>1， 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示． 故函数f(x)的图象不经过第二象限． 3．(2023·宜昌模拟)设a＝30.8，b＝90.5，c＝，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a 答案　C 解析　因为a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝ 又函数y＝3x是增函数，且1>0.8>0.5， 所以31>30.8>30.5， 所以b>a>c. 4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减， 则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减， 因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，＋∞)． 5．(2023·广州模拟)已知正数a，b满足·＝3，则3a＋2b的最小值为(　　) A．10 B．12 C．18 D．24 答案　D 解析　·＝ 所以＋＝1， 因为a，b为正数， 所以3a＋2b＝(3a＋2b)＝12＋＋≥12＋2＝24， 当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立， 所以3a＋2b的最小值为24. 6．(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(　　) A．a≤ B．a>1 C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1 答案　C 解析　a(2|x|＋1)＝2|x|， 因为2|x|＋1>0， 所以a＝＝1－， 因为2|x|≥20＝1， 所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1， 要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解， 则a<或a≥1， 由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立； 由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立； 由于a<或a≥1⇒a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确； D为充要条件，不符合要求． 二、多项选择题 7．(2023·重庆模拟)已知函数y＝，则下列说法正确的是(　　) A．定义域为R B．值域为(0,2] C．在[－2，＋∞)上单调递增 D．在[－2，＋∞)上单调递减 答案　ABD 解析　由函数y＝，可得函数的定义域为R，故A正确； 设t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)， 则y＝t，t∈[－1，＋∞)， 由指数函数的单调性，可得函数的值域为(0,2]，故B正确； t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增， 而y＝t在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可得函数在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确． 8．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 答案　CD 解析　画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确； 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2 ＝2， 所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确． 三、填空题 9．＋6＝________. 答案　81 解析　原式＝ ＝2－1＋8＋(23×32) ＝81. 10．已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析　令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数，且是增函数， 因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2， 则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)， 又因为g(x)是奇函数， 所以g(a2)>g(2－a)， 又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a， 解得a<－2或a>1， 故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 四、解答题 11．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1 ＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1,1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去)． 综上，a＝3或a＝. 12．已知函数f(x)＝2x＋. (1)若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5； (2)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)由题意得f(0)＝1＋a＝7， ∴a＝6，f(x)＝2x＋， ∴由f(x)＝5可得2x＋＝5， 整理得(2x)2－5×2x＋6＝0， 可得2x＝2或2x＝3， ∴x＝1或x＝log23. (2)由题意可知，函数f(x)的定义域为R， ①当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)， ∴2－x＋＝－，∴(1＋a)＝0， ∵2x＋≠0，∴a＝－1， 经检验，当a＝－1时，f(x)为奇函数； ②当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， ∴2－x＋＝2x＋，∴(a－1)＝0， ∴a＝1， 经检验，当a＝1时，f(x)为偶函数； ③当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数， 综上，当a＝－1时，f(x)为奇函数； 当a＝1时，f(x)为偶函数； 当a≠±1时，f(x)为非奇非偶函数． (3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立， 即2x＋<3在[1,3]上恒成立， 即a<－(2x)2＋3·2x在[1,3]上恒成立． 令t＝2x，由x∈[1,3]，得t∈[2,8]， 令h(t)＝－t2＋3t＝－2＋，t∈[2,8]， ∴h(t)在[2,8]上单调递减， ∴h(t)min＝h(8)＝－82＋3×8＝－40， ∴a<－40， 故实数a的取值范围为(－∞，－40)． 13．(2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则(　　) A．b>c>a B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c 答案　A 解析　已知α∈，则0<cos α<sin α<1， 因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a； 因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b， 故b>c>a. 14．(2024·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________． 答案　 解析　由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)， 令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2， 而m>0，n>0， 因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即m＝n＝时取等号， 所以当m＝n＝时，＋取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $