第二章 §2.6 二次函数与幂函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.6　二次函数与幂函数

课标要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

 知识梳理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数y＝xα叫作(α次)幂函数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0,0)和(1,1)两点；

②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1,1)，向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

 

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数是幂函数．(　×　)

(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　)

(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)

(4)幂函数的图象一定不会出现在第四象限．(　√　)

2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．9

答案　B

解析　设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)，

故f(8)＝8a＝2，故a＝，

f(x)＝，f(9)＝＝3.

3．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为(　　)

A．(2,10)  B．[1,2)  C．[2,10]  D．[1,10)

答案　D

解析　当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，

则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10)．

4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，4]

解析　由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，

可得－≥－3，

即a≤4，

故实数a的取值范围是(－∞，4].

 

题型一　幂函数的图象与性质

例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2   B．2，，－，－2

C．－，－2,2，   D．2，，－2，－

答案　B

解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：

当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；

当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2.

(2)(2023·德州模拟)已知幂函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　)

A．27  B．9  C.  D.

答案　A

解析　由题意，得m2＋m－5＝1，

即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，

当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，

此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；