第二章 §2.6 二次函数与幂函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.6　二次函数与幂函数 课标要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数y＝xα叫作(α次)幂函数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0,0)和(1,1)两点； ②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1,1)，向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是幂函数．(　×　) (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　) (3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (4)幂函数的图象一定不会出现在第四象限．(　√　) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)， 故f(8)＝8a＝2，故a＝， f(x)＝，f(9)＝＝3. 3．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为(　　) A．(2,10) B．[1,2) C．[2,10] D．[1,10) 答案　D 解析　当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1， 则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10)． 4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，4] 解析　由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减， 可得－≥－3， 即a≤4， 故实数a的取值范围是(－∞，4]. 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象： 当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2. (2)(2023·德州模拟)已知幂函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A．27 B．9 C. D. 答案　A 解析　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 思维升华　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1　(1)幂函数y＝(m∈{0,2,3})的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．2或3 答案　D 解析　当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得， y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减； 当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增； 当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称，在(0，＋∞)上单调递增． (2)已知幂函数y＝x－1，直线y＝x，y＝1，x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”(如图所示)，那么，幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是(　　) A．Ⅵ，Ⅶ B．Ⅳ，Ⅷ C．Ⅲ，Ⅷ D．Ⅲ，Ⅶ 答案　B 解析　显然，图中图象下降的曲线表示的函数为y＝x－1， 因为－<0， 所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减． 当x＝时， 则y＝的图象在直线y＝1的上方，在y＝x－1的图象的下方， 即y＝的图象过Ⅳ； 当x＝2时， 则y＝的图象在直线y＝1的下方，在y＝x－1的图象的上方， 即y＝的图象过Ⅷ. 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解　方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 思维升华　求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝x2－4x＋3 解析　依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3， 所以4a＋h＝3，即h＝3－4a， 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a， 令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0， 所以ax2－4ax＋3＝0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， 所以16－＝10，解得a＝1， 所以f(x)＝x2－4x＋3. 题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例3　(多选)(2024·赣州模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a＋c<b D．abc<0 答案　ACD 解析　由题意得a<0，对称轴为x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确； 当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c<b，故C正确； 当x＝0时，y＝c>0，则abc<0，故D正确； 当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误． 命题点2　二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，a∈R. (1)若y＝f(x)在区间[－1,3]上是单调函数，求a的取值范围； (2)若当0≤x≤2时，函数y＝f(x)的最小值是关于a的函数m(a)，求m(a)的表达式． 解　(1)函数f(x)＝x2＋ax＋3－a图象的对称轴为直线x＝－. 因为f(x)在区间[－1,3]上是单调函数， 所以－≥3或－≤－1. 故a≤－6或a≥2. (2)当－≤0，即a≥0时，f(x)在区间[0,2]上单调递增，m(a)＝f(0)＝3－a； 当0<－<2，即－4<a<0时， f(x)在区间上单调递减，在上单调递增， m(a)＝f ＝－a2－a＋3； 当－≥2，即a≤－4时，f(x)在区间[0,2]上单调递减，m(a)＝f(2)＝a＋7. 综上，m(a)＝ 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 典例(1)　已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C．2 D. 答案　A 解析　因为f(x)＝－x2＋x＝－(x—1)2＋≤的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. (2)　若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 答案　A 解析　函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b， ①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a， ∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关， 综上，M－m的值与a无关，与b有关． 思维升华　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 跟踪训练3　(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 答案　C 解析　y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)为二次函数，图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标， 其中f(m)＝f(n)＝2 023， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. (2)(2023·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________． 答案　[2,4] 解析　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]． 若函数f(x)在区间[a，b]上单调， 则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2,4]． 课时精练 一、单项选择题 1．已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm－2的图象经过原点，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．2 答案　C 解析　令m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3. 当m＝－1时，f(x)＝x－3的图象不经过原点； 当m＝3时，f(x)＝x的图象经过原点． 所以m的值为3. 2．(2023·保定模拟)已知，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　由题意得 所以b<a<c. 3．(2023·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．[32,40] B．(－∞，32]∪[40，＋∞) C．(－∞，32] D．[40，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝，且其图象开口向上， 所以≤4或≥5，解得k≤32或k≥40， 所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞)． 4．若关于x的方程9x＋3x＋1－m＋1＝0有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B. C．(－∞，3] D．(1,3] 答案　A 解析　方程9x＋3x＋1－m＋1＝0有解， ∴(3x)2＋3×3x－m＋1＝0有解， 令t＝3x>0， 则原式可化为t2＋3t－m＋1＝0有正根， 则t2＋3t＝m－1在(0，＋∞)上有解， 又当t∈(0，＋∞)时，t2＋3t∈(0，＋∞)， ∴m－1>0，即m>1. 5．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1,3] C．(0,2] D．[1,2] 答案　D 解析　f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6， f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]， 由图可知，m的取值范围是[1,2]． 6.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝，x＝与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则＋等于(　　) A. B．1 C. D．2 答案　B 解析　由|AB|＝|CD|， 得a－b＝a－b， 即 ＝a－b≠0， 所以a＋b＝1. 二、多项选择题 7．(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．函数f(x)为增函数 C．当x>1时，f(x)>1 D．当0<x1<x2时，<f  答案　BCD 解析　由于函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)， 故有4α＝2， ∴α＝， 故f(x)＝. 显然，函数f(x)为非奇非偶函数，且为增函数，故A错误，B正确； 当x>1时，f(x)＝>1，故C正确； 由于函数f(x)为上凸型函数， 故当0<x1<x2时，<f ，故D正确． 8．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意； C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意； D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意． 三、填空题 9．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________. 答案　211 解析　由题意可知 解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211. 10．已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为____________________． 答案　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析　因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)， 所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)， 展开得y＝ax2＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为＝－4a， 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2， 所以|－4a|＝2，即a＝±， 所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 四、解答题 11．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值； (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围． 解　(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2， 则m＝－3. (2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数． 由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m， 即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3，解得a<4， 即a的取值范围为(－∞，4)． 12．(2024·郴州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足条件：①不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；②函数y＝f(x)的图象过点(3,2)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3，求实数m的值． 解　(1)条件①：因为不等式f(x)<0的解集为 {x|1<x<2}， 所以1,2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 所以即 条件②：函数y＝f(x)的图象过点(3,2)， 所以9a＋3b＋c＝2. 所以则 此时f(x)＝x2－3x＋2. (2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其对称轴为直线x＝， 当≤1，即m≤－1时， g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3， 解得m＝－3； 当≥2，即m≥1时， g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3， 解得m＝－(舍去)； 当1<<2，即－1<m<1时， g(x)min＝g＝－＋2＝3，无解． 综上所述，所求实数m的值为－3. 13．函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足<0，若a，b∈R，且a<0<b，|a|<|b|，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 答案　B 解析　因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(x)＝是幂函数，可得m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上单调递增，故不成立； 当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上单调递减，满足条件， 故m＝－1，f(x)＝x－3，故f(x)为奇函数， 因为a<0<b，|a|<|b|，所以0<－a<b， 所以f(－a)>f(b)， 所以－f(a)>f(b)， 所以f(a)＋f(b)<0. 14．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 答案　B 解析　令f(x)＝g(x)，可得＝ax＋b. 设F(x)＝，G(x)＝ax＋b， 根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点， 不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时(如图1)， G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点， 根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝>＝－y1， ∴y1＋y2>0， 同理可得，当a<0时(如图2)， x1＋x2>0，y1＋y2<0. 学科网（北京）股份有限公司 $