第二章 §2.3 函数的奇偶性、周期性（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.3　函数的奇偶性、周期性

课标要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．

 知识梳理

1．函数的奇偶性

 

2.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

常用结论

1．函数奇偶性常用结论

奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x的值：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　)

(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(　×　)

(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N+)也是函数f(x)的一个周期．(　√　)

2．(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于(　　)

A．－7  B．－5  C．5  D．7

答案　C

解析　因为f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝5.

3．(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于(　　)

A.  B.  C．2  D．1

答案　B

解析　由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，

当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，

∴f(2 024.5)＝f ＝f ＝＋1＝.

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示．则不等式xf(x)>0的解集为________．

答案　(－2,0)∪(0,2)

解析　根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示．

xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.

结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．

 

 

题型一　函数奇偶性的判断

例1　(1)(多选)下列函数是奇函数的是(　　)

A．f(x)＝tan x   B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝   D．f(x)＝ln|1＋x|

答案　AC

解析　对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数；

对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；

对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数；

对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．

(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案　奇

解析　由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，

令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，

故f(0)＝0.

令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，

故f(－x)＝－f(x)．

故f(x)为奇函数．

思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

跟踪训练1　(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　)

A．f(x)＝x＋sin x

B．f(x)＝(x－1)

C．f(x)＝ln(－x)