第二章 §2.2 函数的单调性与最值（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§2.2　函数的单调性与最值 课标要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I是D的一个非空子集，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集． (1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． (2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点． 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(　×　) (2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(　×　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　√　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) 2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝2x 答案　A 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 3．(2023·宜春统考)函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．不存在 答案　A 解析　y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1,2]上单调递增， 所以ymax＝－＝－. 4．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<，即x<，则x的取值范围为. 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 答案　ACD 解析　∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 例2　已知函数f(x)＝x2－＋1(x>0)，判断函数f(x)的单调性，并证明． 解　函数f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取0<x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝x－＋1－x＋－1 ＝(x2－x1)， 因为0<x1<x2， 所以x2－x1>0，x2＋x1＋>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上单调递增． 思维升华　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法． 跟踪训练1　(1)(2023·乐山检测)函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)和(2，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝(x－4)·|x|＝的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)． (2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 答案　 解析　令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3　(2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4)． 命题点2　求函数的最值 例4　(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为(　　) A. B．[0,1] C. D. 答案　C 解析　由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减， 可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝， 故值域为. 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)． 命题点3　解函数不等式 例5　函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　依题意得⇒－1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[－1,1)． 命题点4　求参数的取值范围 例6　(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 答案　C 解析　∵f(x)＝在R上是减函数， ∴ 解得0<a≤， ∴a的取值范围是. 思维升华　(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练2　(1)(2024·大连模拟)已知函数f(x)＝若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　函数f(x)＝的图象如图所示， 由图象知，函数f(x)在R上是增函数， 所以f(a－1)≥f(－a)转化为a－1≥－a， 解得a≥. (2)(2023·常德模拟)若函数f(x)＝ax2＋x＋a在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝x，在[1，＋∞)上单调递增，满足题意； 当a≠0时，f(x)＝ax2＋x＋a的图象的对称轴为x＝－， 要使函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 只需解得a>0， 综上，a的取值范围是[0，＋∞)． 课时精练 一、单项选择题 1．函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(0,2) D．(0，＋∞) 答案　A 解析　∵f(x)＝|x－2|＝ ∴函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(－∞，2)． 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 答案　A 解析　因为函数y＝－x和y＝在上均单调递减， 所以f(x)＝－x＋在上单调递减， 所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 3．(2023·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－2)>f(－3) B．f(－2)>f(－3)>f(1) C．f(－3)>f(1)>f(－2) D．f(－3)>f(－2)>f(1) 答案　D 解析　因为f(x)是偶函数， 所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)． 因为f(x)在[1,3]上单调递增， 所以f(3)>f(2)>f(1)， 所以f(－3)>f(－2)>f(1)． 4．设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[2,6] D．[2，＋∞) 答案　B 解析　画出函数f(x)的图象(图略)，结合图象可知f(x)在R上是增函数， 由f(a＋1)≥f(2a－1)，得a＋1≥2a－1，解得a≤2. 5．(2023·杭州模拟)设a∈R，则“a≥1”是“函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由题意可得，f(x)＝＝a＋在(1，＋∞)上单调递减， 则a－1>0，解得a>1. 因为a≥1不能推出a>1，a>1⇒a≥1， 所以“a≥1”是“函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减”的必要不充分条件． 6．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案　A 解析　因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数， 所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0. 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0， 所以f(x)在R上是增函数． 又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)． 二、多项选择题 7．(2023·深圳模拟)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0”的是(　　) A．f(x)＝21－x B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－ 答案　BCD 解析　函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0”，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 函数f(x)＝21－x在(0，＋∞)上单调递减，故A不符合题意； 函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意； 函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，故C符合题意； 函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故D符合题意． 8．(2023·湛江检测)已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f(x)在[－1,0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值 答案　ABD 解析　因为f(x)＝－x2＋2|x|＋1， 所以f(x)＝ 作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，故A，B正确； 由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确． 三、填空题 9．(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 答案　 解析　函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数， 故f(x)在R上是增函数， f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<. 10．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________________． 答案　f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解析　由题意知，令f(x)＝(x－1)2， 满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立， 但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增， 所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解　(1)f(x)＝x|x－4|＝ 函数f(x)的大致图象如图所示． (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)． 12．(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0. 解　(1)f(x)＝＝1－在R上是增函数． 证明：在R上任取x1，x2且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝， 由x1<x2可知 所以 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． 即f(x)在R上是增函数． (2)易知f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数， 由(1)知，函数f(x)在R上是增函数， 由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)， 所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0， 解得－3<t<1， 即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}． 13．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 答案　ABC 解析　由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减， 故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2＋1)， 故f(|2ax|)<f(2x2＋1)， 所以|2ax|<2x2＋1， 当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求， 当x≠0时，|2a|<＝2|x|＋在 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立， 其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|＝，即|x|＝时，等号成立， 故|2a|<2，解得－<a<， 综上，a的取值范围为－<a<， A选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A正确； B选项，⊆(－，)，B正确； C选项，[0，)⊆(－，)，C正确； D选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D错误． 14．已知函数f(x)＝ 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 答案　(－∞，0]　(2,4] 解析　若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4， 解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $