第二章 §2.12 函数与方程的综合应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

§2.12　函数与方程的综合应用 重点解读　　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置． 题型一　由零点分布求值(范围) 命题点1　二次函数的零点分布 例1 (1)(2023·扬州模拟)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4]∪[4，＋∞) B．(－5，－4] C．(－5，＋∞) D．[－4，－2)∪[4，＋∞) 答案　B 解析　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧， 根据图象得，方程的判别式Δ≥0； f(2)>0； 函数图象的对称轴－>2. 即解得－5<m≤－4. (2)(2023·苏州模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意有， 解得<m<. 命题点2　其他函数的零点分布 例2 已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A．[3.5,4) B．(3.5,4] C．(5,5.5] D．[5,5.5) 答案　A 解析　由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x， 因此f ＝－log2＝1，f(1)＝0， 所以f(0)＝0，f ＝－1，f(－1)＝0， 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2， 且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0， 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数， 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象， 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现， 若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4. 思维升华 对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值． 跟踪训练1 (1)设a为实数，若方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,0) C. D.∪(1，＋∞) 答案　C 解析　令g(x)＝x2－2ax＋a， 由方程x2－2ax＋a＝0在区间(－1,1)上有两个不相等的实数解可得 即或 解得－<a<0. (2)(2023·郴州模拟)(多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则(　　) A．0<k<1 B．x1＋x2＝－1 C．e<x3<e2 D．0<x1x2x3x4<e4 答案　ACD 解析　画出函数f(x)与函数y＝k的图象如图所示， f(x)在(－∞，－1]上单调递减，值域为[0，＋∞)； 在[－1,0)上单调递增，值域为[0,1)； 在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)； 在[e2，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)． 则有x1＋x2＝－2，ln x3－2＋ln x4－2＝0， 即x3x4＝e4，故B错误； 方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的实数解， 则有0<k<1，故A正确； 由f(x)在(0，e2]上单调递减，值域为[0，＋∞)， f(e)＝|ln e－2|＝1，f(e2)＝|ln e2－2|＝0， 可知e<x3<e2，故C正确； 由x1<x2<0<x3<x4，可知x1x2x3x4>0， 又x1x2x3x4＝e4x1x2＝e4(－x1)(－x2)<e42＝e4. 则有0<x1x2x3x4<e4，故D正确． 题型二　复合函数的零点 命题点1　复合函数的零点个数判定 例3 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　令t＝f(x)，g(x)＝0， 则f(t)－2t＋1＝0， 即f(t)＝2t－1， 分别作出函数y＝f(t)和直线y＝2t－1的图象，如图所示， 由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2， 则t1＝0,1<t2<2， 对于t＝f(x)，分别作出函数y＝f(x)和直线y＝t2的图象，如图所示， 由图象可得， 当f(x)＝t1＝0时，函数y＝f(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)＝0有两个不相等的根， 当t2＝f(x)时，函数y＝f(x)和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f(x)有三个不相等的根， 综上可得g(x)＝0的实根个数为5， 即函数g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零点个数是5. 命题点2　根据复合函数零点求参数 例4 (2024·驻马店模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取值范围是(　　) A．(2,4] B．(2，＋∞) C. D. 答案　C 解析　设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝h(t)＝t2－at＋1， 画出f(x)的图象，如图， 由图可知，当t<－1时，t＝f(x)有且仅有一个解； 当t＝－1或t>2时，t＝f(x)有两个不同的解； 当－1<t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个零点， 故需t2－at＋1＝0在(－1,2]内有两个不同的根， 所以 解得2<a≤， 即a的取值范围是. 思维升华 对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)； (3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 跟踪训练2 已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为______． 答案　(0,1] 解析　由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)． 综上，m∈(0,1]． 课时精练 一、单项选择题 1．若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．[0,3] C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　令f(x)＝－x2＋ax＋4， 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于－1， 由二次函数的图象可知， 即 解得0<a<3. 2．若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，－8] C．(－∞，－8]∪[0，＋∞) D．(－∞，－8)∪(0，＋∞) 答案　B 解析　令t＝3x>0，则9x＝t2， 由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0. 则问题转化为关于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0时有实数根． 由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋， 由基本不等式得－(a＋4)＝t＋≥2＝4， 当且仅当t＝2时，等号成立， 所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8. 因此，实数a的取值范围是(－∞，－8]． 3．(2023·南京师大附中模拟)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7个零点，则m的取值范围是(　　) A．(－2,0)∪(0,16) B．(0,16) C．(0,2) D．(－2,0)∪(0，＋∞) 答案　C 解析　f(x)的图象如图所示， 由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0， 当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，当2f(x)－m＝0时，f(x)＝， 即y＝f(x)与y＝有4个交点， 所以0<<1，解得0<m<2. 4．若存在实数a使得函数f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，0] C. D. 答案　A 解析　令t＝2x(t>0)，则t是增函数，令y＝t＋， 由对勾函数的性质知y＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，ymin＝2，此时x＝0， 因此f(x)有唯一零点，则零点为x＝0， f(0)＝－ma2＋a－1＝0，当m＝0时，a＝1有解；当m≠0时，Δ＝1－4m≥0，m≤且m≠0. 综上，m≤. 5．已知f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，则函数y＝2f(x)－的零点为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　A 解析　因为f(x)是定义域为(0，＋∞)的单调函数，且对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log2x)＝3，故可设存在唯一的实数C∈(0，＋∞)，使得f(C)＝3，则f(x)－log2x＝C，所以f(x)＝log2x＋C， 所以f(C)＝log2C＋C＝3，则log2C＝3－C， 由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝3－x在(0，＋∞)上单调递减， 又log22＝1＝3－2，所以C＝2， 故f(x)＝log2x＋2＝log2(4x)， 再令2f(x)－＝0，x∈(0，＋∞)，得4x－＝0， 解得x＝(负值舍去)． 则函数y＝2f(x)－的零点为. 6．(2024·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(1,2] B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) 答案　D 解析　根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4， 由f(x)是定义在R上的偶函数， 当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1可得 当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)， 所以f(－x)＝－x－1＝2x－1＝f(x)， 画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示， 若在区间(－2,6]内方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点， y＝loga(x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示， 则需满足 即解得<a<2. 二、多项选择题 7．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3 答案　ABD 解析　对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为x1＝2，x2＝3，故A正确； 对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝2－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－，故B正确； 对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，则x1<2<3<x2，故C错误； 对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确． 8．(2023·湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x))＝x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x))的是(　　) A．x2＋2x B．x＋1 C．ecos x D．ln(|x|＋1) 答案　ACD 解析　由方程f(g(x))＝x有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)， 再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有实数解． 对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A正确； 对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B错误； 对于C，当ecos x＝x时，令h(x)＝ecos x－x， 因为h(0)＝e>0，h＝1－<0， 由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C正确； 对于D，当ln(|x|＋1)＝x时，x＝0为方程的解， 所以方程有实数解，故D正确． 三、填空题 9．若存在正实数x，使得ax2＋(a2－1)x＋a＝0成立，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－－1]∪(0，－1] 解析　依题意，关于x的方程ax2＋(a2－1)x＋a＝0有正实数解， 当a＝0时，方程的解为x＝0，不符合题意，故a≠0，该方程是关于x的一元二次方程，且有正实数解，注意到x1x2＝1，所以由 解得a≤－－1或0<a≤－1. 10．(2023·永州模拟)对于函数y＝f(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝则曲线f(x)的“优美点”个数为________． 答案　4 解析　若x≤0，f(x)＝－x2－2x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)， 在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①. 若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图②. 综上可知，满足题意的“优美点”有4个． 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $