第二章 必刷小题3 基本初等函数（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

必刷小题3　基本初等函数 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)等于(　　) A．3 B. C．1 D．－1 答案　B 解析　由题意知g(x)是f(x)＝log3x的反函数， 所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝. 2．(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为(　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　B 解析　依题意，设f(x)＝xα，则＝＝3α＝4， 所以f ＝α＝＝. 3．函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2－x－x2>0，解得－2<x<1，故函数的定义域是(－2,1)，因为函数u＝2－x－x2在上单调递增，在上单调递减，且函数y＝log0.5u在定义域上是减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数y＝log0.5(2－x－x2)的单调递增区间是. 4．(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 答案　A 解析　对于A，B，若y＝a－x＝x的图象正确，则0<a<1， ∴y＝logax＋a单调递减，又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； 对于C，D，若y＝a－x＝x的图象正确，则a>1， ∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误． 5．函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是(　　) A．10 B．1 C．11 D．lg 11 答案　B 解析　设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lg t， 因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lg t≥lg 10＝1， 所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1. 6．若实数m，n，p满足，p＝，则(　　) A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m 答案　A 解析　∵实数m，n，p满足，p＝，∴＝<1，∴m<n； 又＝>1，∴m>p，∴p<m<n. 7．已知函数f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,2) B. C. D．(2，＋∞) 答案　A 解析　令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－， 所以g(x)≥g＝3－， 因为f(x)>1恒成立， 所以即 解得1<a<2， 即实数a的取值范围是(1,2)． 8．(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　设过滤后水中大颗粒杂质含量为y mg/L， 则经过x层过滤后，满足y＝25×x＝25×x，x∈N*， 若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L， 则25×x≤2.5，即x≤， ∵y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增， ∴lgx≤lg ，∴xlg ≤－1， ∴x(lg 2－lg 3)≤－1， ∵lg 2－lg 3<0，∴x≥≈≈5.6， ∵x∈N*，∴x的最小值为6， ∴PP棉滤芯层数最少为6. 二、多项选择题 9．在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　) 答案　ABD 解析　当a>b>0时，A正确； 当b>a>0时，B正确； 当0>a>b时，D正确； 当0>b>a时，无此选项． 10．若0<a<1，则下列关系成立的是(　　) A．loga(1－a)>loga(1＋a) B．loga(1＋a)<0 C． D．a1－a<1 答案　ABD 解析　因为0<a<1，所以0<1－a<1＋a， 因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正确； 因为0<a<1，所以1<1＋a<2， 因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此，故C不正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此a1－a<a0＝1，故D正确． 11．(2024·绥化模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0,2) 答案　ABD 解析　∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点， ∴a＋b＝0，故A正确； 即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a， ∵函数f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交， ∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2. 由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y， 则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确； 由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上单调递减， 故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误； 由于|x|∈(0,1]， ∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确． 12．(2023·郴州质检)已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，则(　　) A.＋＝ B．2x>3y>6z C．xy<4z2 D．x＋y>4z 答案　AD 解析　令2x＝3y＝6z＝t，则t>1， 可得x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t. 对于A，＋＝＋＝＋＝＝logt6＝，故A正确； 对于B，因为t>1，所以lg t>0， 2x－3y＝2log2t－3log3t＝－＝＝>0，即2x>3y； 3y－6z＝3log3t－6log6t＝－＝＝<0，即3y<6z，故B错误； 对于C，xy＝log2t·log3t＝·＝，4z2＝4(log6t)2＝42＝，lg t>0， 因为0<lg 2·lg 3<2＝， 所以>， 则>，即xy>4z2，故C错误； 对于D，x＋y＝log2t＋log3t＝＋＝，4z＝4log6t＝，lg t>0， 由C的分析可知>， 则>＝，即x＋y>4z，故D正确． 三、填空题 13．计算：＋πlg 1＋log2－log4＝________. 答案　 解析　＋πlg 1＋log2－log4 ＝＋π0＋log2－log2 ＝2＋1＋log2＝＋1－1＝. 14．方程logx10＋＝6的解为________． 答案　x＝ 解析　由题意得logx10＋＝＋＝＝＝6，即lg x＝，解得x＝. 15．已知函数f(x)＝lg(|x|＋1)，则使不等式f(2x＋1)<f(3x)成立的x的取值范围是________． 答案　 解析　f(x)＝lg(|x|＋1)的定义域为R， 因为f(－x)＝lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数， 因为当x>0时，f(x)＝lg(|x|＋1)＝lg(x＋1)单调递增， 所以当x<0时，f(x)＝lg(|x|＋1)单调递减， 由f(2x＋1)<f(3x)可得|2x＋1|<|3x|， 解得x<－或x>1， 所以x的取值范围是. 16．若关于x的不等式kex＋(k－1)e－x＋2k＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案　 解析　因为ex>0，所以原不等式可转化为ke2x＋(k－1)＋(2k＋1)ex<0在(0，＋∞)上恒成立， 令t＝ex∈(1，＋∞)，f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1， 要使f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1<0在(1，＋∞)上恒成立． 方法一　当k＝0时，f(t)＝t－1>0，不符合题意， 当k≠0时，由二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即k<0， 当对称轴t＝－>1， 即－<k<0时，只需f ＝k2＋(2k＋1)＋k－1<0， 解得－<k<－； 当对称轴t＝－≤1， 即k≤－时，只需f(1)＝k＋2k＋1＋k－1≤0， 解得k≤－， 综上所述，实数k的取值范围是. 方法二　即使k(t2＋2t＋1)<1－t在(1，＋∞)上恒成立，即k<在(1，＋∞)上恒成立， 令g(t)＝，t>1，则g′(t)＝， 当1<t<3时，g′(t)<0；当t>3时，g′(t)>0， 所以g(t)在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以g(t)min＝g(3)＝－，所以k<－， 即k的取值范围是. 谢谢 学科网（北京）股份有限公司 $