专题09平行线的性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题09平行线的性质同步讲义 · 理解并掌握平行线的三条性质，能用几何语言准确表述。 · 能运用平行线的性质进行简单的推理、角度计算和说理。 · 分清平行线的性质与判定的区别与联系，能正确选用。 · 经历观察、猜想、推理的过程，发展逻辑推理和有条理表达能力。 必备知识 点梳理 1.平行线的性质 2.平行线性质与判定的区别 3.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.两直线平行.同位角相等 2.两直线平行.内错角相等 3.两直线平行.同旁内角互补 4.利用平行线的性质探究角的关系 5.利用平行线的性质求角的度数 6.平行线性质在生活中的应用 分层强化 单选题(5题) 填空题(5题) 解答题(3题) 知识前提（必须先明确） 1.研究对象：两条平行线被 ** 第三条直线（截线）** 所截。 2.核心作用：由两直线平行 → 推出角的数量关系（相等或互补）。 3.使用条件：只有平行时才成立，不平行不能用！ 性质 1：两直线平行，同位角相等 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 图形特征:呈 “F” 型，在截线同侧、被截线同方向。 性质 2：两直线平行，内错角相等 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 图形特征:呈 “Z” 型，在两条被截线之间、截线两侧。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为 180°）。 图形特征:呈 “U” 型，在两条被截线之间、截线同旁。 【知识点02.平行线性质与判定的区别】 【知识点03.易错点汇总】 1.性质与判定用反：已知平行用性质（得角关系），要证平行用判定（由角得平行）。 2.前提遗漏：不说 “两直线平行”，直接说 “同位角相等” 是错误的。 3.同旁内角记错：两直线平行时，同旁内角是互补（和为 180°），不是相等。 4.角型识别错：要先找截线和被截线，再按 F/Z/U 型判断同位 / 内错 / 同旁内角。 5.书写不规范：几何推理必须写清理由，不能只写结论。 6.截线找错：多组平行线时，要锁定同一组平行线和同一条截线再用性质。 【题型1.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图，，若，则________． 【跟踪专练1】如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知直线，若，则的度数是______． 【跟踪专练3】如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2.两直线平行,内错角相等】 【典例】如图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明内角和是时，得到的原理是：两直线平行，____相等． 【跟踪专练1】如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【跟踪专练3】如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型3.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，已知，，则_______°． 【跟踪专练1】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，的度数为______． 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【题型4.利用平行线的性质探究角关系】 【典例】如图所示，，，则点，，三点的位置关系是________． 【跟踪专练1】如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【跟踪专练3】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，已知直线，，则________． 【跟踪专练1】如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【跟踪专练3】如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6.平行线性质在生活中的应用】 【典例】光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则______．    【跟踪专练1】光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【跟踪专练3】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 单选题 1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 2．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 3．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 填空题 6．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是______． 7．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______． 8．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 9．已知与的两边分别平行，其中为，为，则_____度． 10．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 解答题 11．如图，已知，，求证：． 12．已知如图及外一点C，过点C作，使得的两条边分别平行于，即如果，． (1)直接画出图形（不写画法，工具不限）； (2)若，则度数为______； (3)由（1）、（2）写出发现了一个结论：______． 13．下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行线的性质同步讲义 · 理解并掌握平行线的三条性质，能用几何语言准确表述。 · 能运用平行线的性质进行简单的推理、角度计算和说理。 · 分清平行线的性质与判定的区别与联系，能正确选用。 · 经历观察、猜想、推理的过程，发展逻辑推理和有条理表达能力。 必备知识 点梳理 1.平行线的性质 2.平行线性质与判定的区别 3.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.两直线平行.同位角相等 2.两直线平行.内错角相等 3.两直线平行.同旁内角互补 4.利用平行线的性质探究角的关系 5.利用平行线的性质求角的度数 6.平行线性质在生活中的应用 分层强化 单选题(5题) 填空题(5题) 解答题(3题) 知识前提（必须先明确） 1.研究对象：两条平行线被 ** 第三条直线（截线）** 所截。 2.核心作用：由两直线平行 → 推出角的数量关系（相等或互补）。 3.使用条件：只有平行时才成立，不平行不能用！ 性质 1：两直线平行，同位角相等 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 图形特征:呈 “F” 型，在截线同侧、被截线同方向。 性质 2：两直线平行，内错角相等 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 图形特征:呈 “Z” 型，在两条被截线之间、截线两侧。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补 文字语言:两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为 180°）。 图形特征:呈 “U” 型，在两条被截线之间、截线同旁。 【知识点02.平行线性质与判定的区别】 【知识点03.易错点汇总】 1.性质与判定用反：已知平行用性质（得角关系），要证平行用判定（由角得平行）。 2.前提遗漏：不说 “两直线平行”，直接说 “同位角相等” 是错误的。 3.同旁内角记错：两直线平行时，同旁内角是互补（和为 180°），不是相等。 4.角型识别错：要先找截线和被截线，再按 F/Z/U 型判断同位 / 内错 / 同旁内角。 5.书写不规范：几何推理必须写清理由，不能只写结论。 6.截线找错：多组平行线时，要锁定同一组平行线和同一条截线再用性质。 【题型1.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图，，若，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可． 【详解】解：， 旋转后的． 【跟踪专练2】如图，已知直线，若，则的度数是______． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键． 结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 【题型2.两直线平行,内错角相等】 【典例】如图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明内角和是时，得到的原理是：两直线平行，____相等． 【答案】内错角 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 故答案为：内错角． 【跟踪专练1】如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：平分， （角平分线的性质）， ， （两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算等知识点，添加适当辅助线利用平行线的性质求角度是解题的关键．过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，，，进而可得，，由角平分线的定义可得，，由可得，进而可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 又， ， ，，，， ， ， 和分别平分和， ，， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 【题型3.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，已知，，则_______°． 【答案】/105度 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据对顶角相等解答． 本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：． 【跟踪专练1】五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，的度数为______． 【答案】/135度 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再根据可知， 把，代入求出的值， 进而可得出结论，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意； 选项B、∵， ∴， ∵， ∴， 故本选项符合题意； 选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意； 选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选B． 【题型4.利用平行线的性质探究角关系】 【典例】如图所示，，，则点，，三点的位置关系是________． 【答案】在同一直线上 【分析】根据平行线的性质得到，再由得到即可得到点，，三点在同一直线上． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴点，，三点在同一直线上， ∴点，，三点的位置关系是在同一直线上， 故答案为：在同一直线上． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 【跟踪专练2】如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 【跟踪专练3】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【题型5.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，已知直线，，则________． 【答案】/80度 【分析】根据对顶角的性质得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作，根据平行的传递性，求出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选B． 【跟踪专练2】如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【跟踪专练3】如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，则，由折叠可知，根据已知条件，则可知，再根据，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿折叠，A、D两点分别与、对应， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6.平行线性质在生活中的应用】 【典例】光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则______．    【答案】/58度 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行， ∴，又， ∴， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 【跟踪专练1】光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是___________度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 单选题 1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【答案】C 【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设灯旋转的时间为秒， 灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒， 灯先转动2秒，灯才开始转动， ，即， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得符合题设； ③如图，当时，， ， 同理可得：，即， 解得，不符题设，舍去； 综上，灯旋转的时间为1秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键． 2．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 3．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 4．如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 5．如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得， ， ∴四边形的周长为， ∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 填空题 6．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是______． 【答案】24°/24度 【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值． 【详解】∵， ∴设∠DEF＝∠EFB＝a， 图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a， 图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°． 解得a＝24°． 即∠DEF＝24°， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 7．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则______． 【答案】/88度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 9．已知与的两边分别平行，其中为，为，则_____度． 【答案】70或30 【分析】本题考查的是平行线的性质．分与两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时； （2）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时； 综上分析可知：或． 故答案为：70或30． 10．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 解答题 11．如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． 12．已知如图及外一点C，过点C作，使得的两条边分别平行于，即如果，． (1)直接画出图形（不写画法，工具不限）； (2)若，则度数为______； (3)由（1）、（2）写出发现了一个结论：______． 【答案】(1)作图见详解 (2)或 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质， （1）根据要求画出图形即可； （2）分两种情形利用平行线的性质求解； （3）利用图1，图2说明问题即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图1中，设交于点， ， ， ， ； 如图2中，设交于点， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． （3）解：结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 理由：如图1中，设交于点， ， ， ， ； 如图2中，设交于点， ， ， ， ， ． 13．下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $