1.4整式的除法讲义 2025-2026学年北师大 版七年级数学下册

本讲义聚焦整式除法核心知识点，系统梳理单项式除以单项式（系数、同底数幂分别相除，单独字母连同指数保留）和多项式除以单项式（转化为各项除以单项式再相加）的运算法则，构建从基础到综合的学习支架，助力学生探索法则、掌握运算并解决实际问题。 资料通过典型例题剖析（如混合运算、实际应用）和易误易混总结（符号处理、漏项问题），培养学生运算能力与推理意识，结合中考考点对接与综合训练提升应用意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识体系。

1.4整式的除法讲义2024北师大版本七年级数学下册-教师版 单项式除以单项式 多项式除以单项式 学习目标导航 1.经历探索整式除法运算法则的过程，体会类比方法的作用，发展运算能力． 2.会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式），并能解决有关的实际问题． 3.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力． 一、 教材内容全解 知识点一 单项式除以单项式 1.法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算． 2.一般运算步骤  (1)先确定商的系数，系数相除 （要特别注意系数的符号） 所得的商作为商的系数； (2)同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式； (3)只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏． 注意 (1)要注意运算的顺序，被除式和除式中含有乘方运算时，应先进行乘方运算，再进行除法运算； (2)相同的两个单项式相除结果是，不是； (3)单项式除以单项式的结果仍是单项式． 1 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 2 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 勿漏掉末参与运算的． 3 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 链接 有理数的除法法则除以一个数（除外）等于乘这个数的倒数． 分析 (1)只需依照法则运算；(2)注意被除式的系数为，不是，除以等于乘的倒数；(3)把看做一个整体进行单项式除法． 点拨 (1)计算时，要明确两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母；(2)要特别注意系数的符号和运算顺序；(3)计算结果是否正确，可由单项式乘法来检验． 知识点二 多项式除以单项式 法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 式子表示 （）（其中） 实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项式除以单项式” 注意 (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号，并且还要注意各个运算结果的符号，不要将符号弄错；(2)多项式除以单项式所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为的项不能漏掉． 4 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 原式 ． 5 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 分析：(1)题可直接运用法则计算；(2)题应注意各项的符号． 提示 多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 注意 多项式除以单项式时，应注意逐项相除，不要漏项．一定要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂进行排列． 教材问题全解 教材第28页“问题” 答案：(1)． (2)．(3)． 理由：(1)． (2)． (3)． 教材第29页“做一做” 答案：设球的半径为，由题意可知，圆柱形盒子的底面圆的半径为，圆柱形盒子的高为，所以球的体积为，圆柱形盒子的容积为，所以．所以三个球的体积之和占整个盒子容积的． 教材第30页“问题” 答案：(1)．(2)．(3)． 理由：(1)． (2)． (3)． 教材第31页“做一做” 答案：． 二、 典型例题剖析 题型一 整式的混合运算 6 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 7 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 8 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 分析：(1)中含有积的乘方，因此先算积的乘方；(2)是单项式乘除法的混合运算，按运算顺序进行即可；(3)中含有中括号，首先利用平方差公式与完全平方公式把中括号内的式子化简，合并同类项，再利用多项式除以单项式法则进行运算． 规律总结 解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除．有括号先算括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行． 举一反三 1 9 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 10 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 题型二 整式除法的应用 11 .已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式． 【答案】 ． 【解析】 ， 所以这个多项式为． 分析：由于这个多项式乘等于，所以这个多项式等于，从而转化为多项式除以单项式． 举一反三 2 12 .老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了一部分多项式，形式如下： ． ( 1 )求所捂的多项式． ( 2 )当，时，求所捂的多项式的值． 【答案】 (1)． (2)． 【解析】 (1)所捂的多项式为． (2)当，时， ． 13 .已知多项式能被整除，商为，求的值． 【答案】 ． 【解析】 根据题意，得， 所以， 因为两个多项式相等，则对应项系数相等， 所以． 分析：根据被除式除式商，以及两个多项式相等，则对应项系数必相等求解． 点拨 当整式除法中没有余式时，被除式除式商；当整式除法中有余式时，被除式除式商余式． 举一反三 3 14 .已知一个多项式除以多项式所得商式是，余式为，求这个多项式． 【答案】 ． 【解析】 ． 题型三 利用整式的除法解决“看错”问题 15 .已知，为多项式，，计算时，某同学把看成，结果得，请你求出的正确答案，并求当时的值． 【答案】 ；． 【解析】 由题意可得， ． 因为． 所以当时，． 分析：根据题意，利用多项式乘多项式得出，进而求出答案． 规律总结 “看错”问题的解题思路：先按照看错的运算的逆运算求出原数，再根据正确的运算顺序进行计算． 举一反三 4 16 .小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误认为乘，结果是，请你求出正确的结果． 【答案】 ． 【解析】 原多项式为， 所以正确结果为． 题型四 与整式除法有关的归纳猜想题 17 .观察下列单项式：，，，，，． ( 1 )计算任一个单项式（从第二个开始）与前一个单项式的商是多少，据此规律请你写出第个单项式． ( 2 )根据你发现的规律写出第个单项式． 【答案】 (1)． (2)． 【解析】 (1)商为，第个单项式为． (2)第个单项式为． 分析：(1)利用单项式除以单项式的法则计算：，其他几个式子也按相同方式进行，都得同一个结果，由此可得出第个单项式为．(2)用(1)求出的代数式可写出第个单项式． 点拨 本题考查观察分析能力，根据系数及的指数的变化得出规律是解题的关键． 举一反三 5 18 .观察下列式子： ； ； ； ． ( 1 )你能得到一般情况下的结果吗（为正整数）？请写出你的答案． ( 2 )根据的结果，计算：． 【答案】 (1)． (2)． 【解析】 (1)． (2) ． 三、 中考考点对接 解读1：考查利用单项式除以单项式的法则进行计算及单项式的乘除法的混合运算，题型一般以选择题、填空题形式出现，难度较小． 解读2：考查多项式除以单项式法则的应用，以选择题形式出现较多． 中考典题剖析 一、单项式除以单项式 教材第29页随堂练习节选 19 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 20 .计算：           ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 考题点睛 中考真题与教材随堂练习都考查单项式除以单项式的运算，中考真题以填空题的形式呈现，是教材随堂练习的变形． 二、多项式除以单项式 教材第30页例2节选 21 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 22 .计算：． 【答案】 ． 【解析】 ． 23 .下列化简结果正确的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 无解析 考题点睛 中考真题与教材例题都考查了多项式除以单项式这一运算，教材例题直接考查了除法法则，而中考真题还考查了整式的加法和乘法．正确掌握相关法则是求解关键． 四、 知识能力提升 重点内容总结   易误易混总结 易误点 1 忽略符号或遗漏只在被除式里出现的字母 24 . 计算：（）；（）． 下面是两名同学的解法： 嘉嘉的解法： 解：（1）原式； （2）原式 ． 淇淇的解法 解：（1）原式； （2）原式 ． 你认为谁的解法是正确的？ 【答案】 嘉嘉的解法正确． 【解析】 无解析 注意 单项式除以单项式，易出现的错误：(1)符号错误；(2)遗漏只在被除式里含有的字母．本题(1)中易出现的错误，(2)中易忽视只有被除式中含有的字母，漏掉字母． 易误点 2 多项式除以单项式易漏掉商为或的项 25 . 计算：． 下面是两名同学的解法： 嘉嘉的解法 解：原式=． 淇淇的解法 解：原式． 你认为谁的解法是正确的？ 【答案】 嘉嘉的解法正确． 【解析】 直接利用多项式除以单项式的法则进行计算． 注意 多项式除以单项式时，如果多项式中的某项与单项式完全相同（或互为相反数），此项与单项式相除的商应该为（或），易出现此项与单项式相除得的错误．本题易将的结果漏掉． 五、 综合提升训练 26 .若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的周长是（  ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据题意得长方形的另一边长为， 则这个长方形的周长为． 故选． 27 .若，，则等于（   ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为，，所以． 故选． 28 .（           ），括号内应填（  ）． A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ． 29 .已知，那么，的取值为（   ）． A.， B.， C.， D.， 【答案】 A 【解析】 ，所以，，解得，． 故选． 30 .计算的结果为           ． 【答案】 【解析】 ． 31 .小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是，商式必须是，则小亮报一个除式是           ． 【答案】 【解析】 ． 32 .任意给出一个非零数，按如图的程序进行计算，输出的结果是           ． 【答案】 【解析】 根据题意得：． 故答案为：． 33 .计算． ( 1 ) . ( 2 ) . 【答案】 (1)． (2)． 【解析】 (1)原式 ． (2)原式 ． 34 .红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为、长为的塑料扣板，已知这件陈列室的长为、宽为，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当时，求出具体的扣板数． 【答案】 应该至少购买块这样的塑料扣板；当时，需要的扣板数为张． 【解析】 根据题意得： ， 则应该至少购买块这样的塑料扣板， 当时，原式，即需要的扣板数为张． 35 .由，可以得到，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式．另外，当时，多项式的值为. 根据上面材料，回答下列问题： ( 1 )如果有一个关于字母的多项式，当时，值为，那么与有何关系? ( 2 )利用上面的结果求解：已知能整除，求的值． 【答案】 (1)能被整除． (2)． 【解析】 (1)因为有一个关于字母的多项式，当时， A值为，所以是的一个因式，能被整除． (2)因为能整除， 所以时，， 所以，所以． 六、 课后习题全解 随练习（教材第29页） 解：(1)． (2)． (3)． (4)． 习题1.13（教材第29页） 知识技能 1.解:(1)． (2)． (3)． (4)． 2.解:(1)． (2)． 3.解：如图1-7-2所示． 问题解决 4.解：． 所以光的传播速度是声音的倍． 5.解：．所以水面的高度为． 随堂练习（教材第31页） 解:(1)． (2)． (3)． (4)． 习题1.14（教材第31页） 知识技能 1.解：(1)． (2)． (3)． (4)． (5) ． (6) ． (7)． (8)． 问题解决 2解：瓶子中水的体积为，一个杯子能盛水的体积为以一共需要这样的杯子（个）． 联系拓广 3.解：本题可列出式子，输出结果为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4整式的除法讲义2024北师大版本七年级数学下册-学生版 单项式除以单项式 多项式除以单项式 学习目标导航 1.经历探索整式除法运算法则的过程，体会类比方法的作用，发展运算能力． 2.会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式），并能解决有关的实际问题． 3.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力． 一、 教材内容全解 知识点一 单项式除以单项式 1.法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算． 2.一般运算步骤  (1)先确定商的系数，系数相除 （要特别注意系数的符号） 所得的商作为商的系数； (2)同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式； (3)只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏． 注意 (1)要注意运算的顺序，被除式和除式中含有乘方运算时，应先进行乘方运算，再进行除法运算； (2)相同的两个单项式相除结果是，不是； (3)单项式除以单项式的结果仍是单项式． 1 .计算：． 2 .计算：． 勿漏掉末参与运算的． 3 .计算：． 链接 有理数的除法法则除以一个数（除外）等于乘这个数的倒数． 分析 (1)只需依照法则运算；(2)注意被除式的系数为，不是，除以等于乘的倒数；(3)把看做一个整体进行单项式除法． 点拨 (1)计算时，要明确两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母；(2)要特别注意系数的符号和运算顺序；(3)计算结果是否正确，可由单项式乘法来检验． 知识点二 多项式除以单项式 法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 式子表示 （）（其中） 实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项式除以单项式” 注意 (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号，并且还要注意各个运算结果的符号，不要将符号弄错；(2)多项式除以单项式所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为的项不能漏掉． 4 .计算：． 5 .计算：． 分析：(1)题可直接运用法则计算；(2)题应注意各项的符号． 提示 多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 注意 多项式除以单项式时，应注意逐项相除，不要漏项．一定要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂进行排列． 教材问题全解 教材第28页“问题” 答案：(1)． (2)．(3)． 理由：(1)． (2)． (3)． 教材第29页“做一做” 答案：设球的半径为，由题意可知，圆柱形盒子的底面圆的半径为，圆柱形盒子的高为，所以球的体积为，圆柱形盒子的容积为，所以．所以三个球的体积之和占整个盒子容积的． 教材第30页“问题” 答案：(1)．(2)．(3)． 理由：(1)． (2)． (3)． 教材第31页“做一做” 答案：． 二、 典型例题剖析 题型一 整式的混合运算 6 .计算：． 7 .计算：． 8 .计算：． 分析：(1)中含有积的乘方，因此先算积的乘方；(2)是单项式乘除法的混合运算，按运算顺序进行即可；(3)中含有中括号，首先利用平方差公式与完全平方公式把中括号内的式子化简，合并同类项，再利用多项式除以单项式法则进行运算． 规律总结 解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除．有括号先算括号内的，同级运算按照从左到右的顺序进行． 举一反三 1 9 .计算：． 10 .计算：． 题型二 整式除法的应用 11 .已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式． 分析：由于这个多项式乘等于，所以这个多项式等于，从而转化为多项式除以单项式． 举一反三 2 12 .老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了一部分多项式，形式如下： ． ( 1 )求所捂的多项式． ( 2 )当，时，求所捂的多项式的值． 13 .已知多项式能被整除，商为，求的值． 分析：根据被除式除式商，以及两个多项式相等，则对应项系数必相等求解． 点拨 当整式除法中没有余式时，被除式除式商；当整式除法中有余式时，被除式除式商余式． 举一反三 3 14 .已知一个多项式除以多项式所得商式是，余式为，求这个多项式． 题型三 利用整式的除法解决“看错”问题 15 .已知，为多项式，，计算时，某同学把看成，结果得，请你求出的正确答案，并求当时的值． 分析：根据题意，利用多项式乘多项式得出，进而求出答案． 规律总结 “看错”问题的解题思路：先按照看错的运算的逆运算求出原数，再根据正确的运算顺序进行计算． 举一反三 4 16 .小明在做一个多项式除以的题时，由于粗心误认为乘，结果是，请你求出正确的结果． 题型四 与整式除法有关的归纳猜想题 17 .观察下列单项式：，，，，，． ( 1 )计算任一个单项式（从第二个开始）与前一个单项式的商是多少，据此规律请你写出第个单项式． ( 2 )根据你发现的规律写出第个单项式． 分析：(1)利用单项式除以单项式的法则计算：，其他几个式子也按相同方式进行，都得同一个结果，由此可得出第个单项式为．(2)用(1)求出的代数式可写出第个单项式． 点拨 本题考查观察分析能力，根据系数及的指数的变化得出规律是解题的关键． 举一反三 5 18 .观察下列式子： ； ； ； ． ( 1 )你能得到一般情况下的结果吗（为正整数）？请写出你的答案． ( 2 )根据的结果，计算：． 三、 中考考点对接 解读1：考查利用单项式除以单项式的法则进行计算及单项式的乘除法的混合运算，题型一般以选择题、填空题形式出现，难度较小． 解读2：考查多项式除以单项式法则的应用，以选择题形式出现较多． 中考典题剖析 一、单项式除以单项式 教材第29页随堂练习节选 19 .计算：． 20 .计算：           ． 考题点睛 中考真题与教材随堂练习都考查单项式除以单项式的运算，中考真题以填空题的形式呈现，是教材随堂练习的变形． 二、多项式除以单项式 教材第30页例2节选 21 .计算：． 22 .计算：． 23 .下列化简结果正确的是（   ）． A. B. C. D. 考题点睛 中考真题与教材例题都考查了多项式除以单项式这一运算，教材例题直接考查了除法法则，而中考真题还考查了整式的加法和乘法．正确掌握相关法则是求解关键． 四、 知识能力提升 重点内容总结   易误易混总结 易误点 1 忽略符号或遗漏只在被除式里出现的字母 24 . 计算：（）；（）． 下面是两名同学的解法： 嘉嘉的解法： 解：（1）原式； （2）原式 ． 淇淇的解法 解：（1）原式； （2）原式 ． 你认为谁的解法是正确的？ 注意 单项式除以单项式，易出现的错误：(1)符号错误；(2)遗漏只在被除式里含有的字母．本题(1)中易出现的错误，(2)中易忽视只有被除式中含有的字母，漏掉字母． 易误点 2 多项式除以单项式易漏掉商为或的项 25 . 计算：． 下面是两名同学的解法： 嘉嘉的解法 解：原式=． 淇淇的解法 解：原式． 你认为谁的解法是正确的？ 注意 多项式除以单项式时，如果多项式中的某项与单项式完全相同（或互为相反数），此项与单项式相除的商应该为（或），易出现此项与单项式相除得的错误．本题易将的结果漏掉． 五、 综合提升训练 26 .若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的周长是（  ）． A. B. C. D. 27 .若，，则等于（   ）． A. B. C. D. 28 .（           ），括号内应填（  ）． A. B. C. D. 29 .已知，那么，的取值为（   ）． A.， B.， C.， D.， 30 .计算的结果为           ． 31 .小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是，商式必须是，则小亮报一个除式是           ． 32 .任意给出一个非零数，按如图的程序进行计算，输出的结果是           ． 33 .计算． ( 1 ) . ( 2 ) . 34 .红光中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为、长为的塑料扣板，已知这件陈列室的长为、宽为，如果你是该校的采购人员，应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当时，求出具体的扣板数． 35 .由，可以得到，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式．另外，当时，多项式的值为. 根据上面材料，回答下列问题： ( 1 )如果有一个关于字母的多项式，当时，值为，那么与有何关系? ( 2 )利用上面的结果求解：已知能整除，求的值． 六、 课后习题全解 随练习（教材第29页） 解：(1)． (2)． (3)． (4)． 习题1.13（教材第29页） 知识技能 1.解:(1)． (2)． (3)． (4)． 2.解:(1)． (2)． 3.解：如图1-7-2所示． 问题解决 4.解：． 所以光的传播速度是声音的倍． 5.解：．所以水面的高度为． 随堂练习（教材第31页） 解:(1)． (2)． (3)． (4)． 习题1.14（教材第31页） 知识技能 1.解：(1)． (2)． (3)． (4)． (5) ． (6) ． (7)． (8)． 问题解决 2解：瓶子中水的体积为，一个杯子能盛水的体积为以一共需要这样的杯子（个）． 联系拓广 3.解：本题可列出式子，输出结果为． 学科网（北京）股份有限公司 $