第六章 §6.5 数列求和(一)（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第六章 §6.5　数列求和(一) 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握分组求和、并项求和、倒序相加求和等几种常见的求和方法. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： Sn＝___________＝_______________. 知识梳理 5 ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ na1，q＝1 ， _________＝__________， q≠1. 知识梳理 6 (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (3)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 知识梳理 7 常用求和公式 (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，公比为q，则其前n项和Sn＝ .(　　) (2)求数列{2n＋2n}的前n项和可用分组求和法.(　　) (3) 1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1). (　　) (4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　) × √ √ √ 自主诊断 √ 自主诊断 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100. 自主诊断 3.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝______. 9 S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17 ＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17) ＝1＋1×8＝9. 自主诊断 4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝____________. 2n＋1－2＋n2 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(2023·信阳模拟)已知数列{an}满足a1＝a2＝0，且{an＋n}为等比数列，n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式； 题型一　分组求和 由a1＝a2＝0，得a1＋1＝1，a2＋2＝2， 故等比数列{an＋n}的公比为2， 则an＋n＝(a1＋1)×2n－1＝2n－1， 故an＝2n－1－n. (2)求满足a1＋a2＋…＋an<2 024的最大整数n. 由(1)可得a1＋a2＋…＋an＝(20＋21＋…＋2n－1)－(1＋2＋…＋n) 又易知当n>2时，an>0， 故当n>12时，a1＋a2＋…＋an>a1＋a2＋…＋a12， 故满足a1＋a2＋…＋an<2 024的最大整数n为11. 分组求和法常见题型 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 思维升华 跟踪训练1　(2023·潍坊模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意知 所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5. (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn. bn＝3n－5＋2n， 题型二　并项求和 例2　(2024·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N+，λ∈R). (1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式； 由Sn＝2n＋λ，知当n＝1时，a1＝2＋λ. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1＝2＋λ适合an＝2n－1， 所以λ＝－1，an＝2n－1. (2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n. 由an＝2n－1， 则bn＝(－1)nlog2a2n＋1＝(－1)n2n， 所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n. 并项求和法常见题型 (1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和. (2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N+)为定值，求数列{an}的前n项和. 思维升华 跟踪训练2　(2023·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n. (1)求{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d， 所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n， (2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n. 因为an＝2n－1且bn＝ancos nπ， 所以b2k－1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2， 所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝2n. 题型三　倒序相加求和 (2)求数列{an}的通项公式. 如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. 思维升华 因为数列{an}是等比数列， 即ln a1＋ln a99＝ln a2＋ln a98＝…＝ln a49＋ln a51＝2ln a50＝0. 所以f(ln a1)＋f(ln a99)＝f(ln a2)＋f(ln a98)＝…＝f(ln a49)＋f(ln a51) ＝2f(ln a50)＝1， 设S99＝f(ln a1)＋f(ln a2)＋f(ln a3)＋…＋f(ln a99)， ① 又S99＝f(ln a99)＋f(ln a98)＋f(ln a97)＋…＋f(ln a1)， ② 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝9，________. 在①S3＝a6，②S4＝30，③a2＋a5＋a8＝45这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. (1)求{an}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 知识过关 1 2 3 4 5 6 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 若选择条件①S3＝a6，则由a3＝9， ∴an＝3＋3(n－1)＝3n. 若选择条件②S4＝30，则由a3＝9， 1 2 3 4 5 6 ∴an＝3＋3(n－1)＝3n. 若选择条件③a2＋a5＋a8＝45，则由a3＝9， ∴an＝3＋3(n－1)＝3n. 1 2 3 4 5 6 (2)设bn＝ ＋an，求{bn}的前n项和Tn. 由(1)知，an＝3n，则bn＝ ＋an＝23n＋3n， 2.已知等差数列{an}满足an＋1＝2an－n. (1)求{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d. 1 2 3 4 5 6 ②当n＝1时，a2＝2a1－1＝a1＋1，所以a1＝2， 所以an＝2＋(n－1)×1＝n＋1. (2)设bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n. 由(1)知bn＝(－1)nan＝(－1)n(n＋1)， T2n＝b1＋b2＋…＋b2n－1＋b2n ＝－2＋3－4＋5－…－2n＋2n＋1 ＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2n＋2n＋1)＝n. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∵Tn＝a1a2a3·…·an， 1 2 3 4 5 6 ∵bn＝nan＝n＋2， ∴S2 023＝(b1－b3)＋(b5－b7)＋…＋(b2 021－b2 023)＝(－2)×506＝－1 012. 1 2 3 4 5 6 由Sn＝an＋1－1，得Sn－1＝an－1(n≥2)， 两式相减得an＝an＋1－an，即an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝S1＝a2－1＝1，所以a2＝2，则an>0， 4.(2023·成都模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝an＋1－1. (1)求a2及an； 1 2 3 4 5 6 由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝ (2)记bn＝ 求数列{bn}的前20项和T20. 所以T20＝(b1＋b3＋…＋b19)＋(b2＋b4＋…＋b20) ＝(1＋3＋…＋19)＋(a1＋a2＋…＋a10) ＝(1＋3＋…＋19)＋(1＋2＋…＋29) 1 2 3 4 5 6 能力拓展 1 2 3 4 5 6 又因为Sn为正项数列{an}的前n项和， 所以S1＝a1＝1， 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 所以2(Sn－Sn－1)Sn＝(Sn－Sn－1)2＋1， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由于bn＝1＋sin 2an， 故T23＝sin 2a1＋sin 2a2＋…＋sin 2a22＋sin 2a23＋23， 所以a1＋a23＝2a12＝π，所以2a1＝2π－2a23， 即sin 2a1＋sin 2a23＝0， 同理a2＋a22＝…＝a11＋a13＝2a12＝π， 得sin 2a2＋sin 2a22＝…＝sin 2a11＋sin 2a13＝0， 1 2 3 4 5 6 则由倒序相加法可知 2T23＝(sin 2a1＋sin 2a23)＋(sin 2a2＋sin 2a22)＋…＋(sin 2a23＋sin 2a1)＋46＝0＋46＝46， 即T23＝23. 返回 na1＋d (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. 2.已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于 A.0 B.100 C.－100 D.10 200 Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. ＝－＝2n－1－， 当n＝11时，211－1－＝1 981<2 024， 当n＝12时，212－1－＝4 017>2 024， (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 解得或(舍去) Sn＝＋＝＋2n＋1－2. 所以解得则an＝2n－1. 所以bn＝(2n－1)·cos nπ＝ 例3　设函数f(x)＝1＋ln ，设a1＝1，an＝f ＋f ＋f ＋…＋f (n∈N+，n≥2). (1)计算f(x)＋f(1－x)的值；  f(x)＋f(1－x)＝1＋ln ＋1＋ln ＝2. 由题知，当n≥2时，an＝f ＋f ＋f ＋…＋f ， 又an＝f ＋f ＋…＋f ，两式相加得 2an＝＋＋…＋ ＝2(n－1)， 所以an＝n－1，又a1＝1不符合an＝n－1，所以an＝ 跟踪训练3　已知函数f(x)＝(x∈R)，正项等比数列{an}满足a50＝1，求f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a99). 因为f(x)＝， 所以f(x)＋f(－x)＝＋＝＝1. 所以a1a99＝a2a98＝…＝a49a51＝a＝1， ①＋②，得2S99＝99，所以S99＝. 得解得 得解得 得解得 ∴{bn}的前n项和Tn＝(81＋82＋83＋…＋8n)＋3(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋3× ＝(8n－1)＋. ①当n≥2时，两式相减可得d＝2d－1，解得d＝1， ∴当n≥2时，an＝＝＝. 当n＝1时，a1＝T1＝3，满足上式，∴an＝. 3.(2024·长春模拟)已知数列{an}的前n项积Tn＝(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝nan，求数列的前2 023项和S2 023. 所以＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1. ＝＋＝1 123. 5.(2024·云南模拟)正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2anSn＝a＋1. (1)求证：数列{S}为等差数列，并求出Sn，an； 可得2S＝S＋1， 所以S－S＝1(n≥2)，数列{S}为等差数列， 所以 S＝n，Sn＝，an＝所以an＝－. 由2anSn＝a＋1， bn＝＝(－1)n(＋)， T2 023＝－1＋＋1－－＋＋－…－－ ＝－. (2)若bn＝，求数列{bn}的前2 023项和T2 023. 6.(2023·佛山统考)记Sn为等差数列{an}的前n项和. (1)若a1＝，S5＝a3＋3a4，求数列{an}的通项公式； 所以4a3＝3a4，即4＝3， 解得d＝， 则数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)＝. 由数列{an}为等差数列，设公差为d，故S5＝＝5a3＝a3＋3a4， (2)若a12＝，记bn＝1＋sin 2an，Tn为数列{bn}的前n项和，求T23的值. 由于{an}为等差数列，a12＝， $