第六章 必刷小题11 数 列（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第六章 必刷小题11　数　列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.(2023·赣州统考)已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5等于 A.7 B.10 C.11 D.13 √ 设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15， 解得a1＝3，d＝2， 故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a3＝6， 所以a14＝a3＋11×4＝50. 2.已知等差数列{an}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a14等于 A.46 B.48 C.50 D.52 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N+)，则a10等于 A.64 B.32 C.16 D.8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n， ∴a1a2＝2，解得a2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a4＝2，a8＝16， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2024·榆林联考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.若要使莞的长度是蒲的长度的2倍，则需要的时间为 A.4天 B.5天 C.6天 D.7天 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 又由莞第一天长高一尺，每天长高为前一天的两倍，则莞的生长构成首项为1，公比为2的等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n＝4或n＝0(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an＋1＝Sn＋1，则S8等于 A.255 B.256 C.127 D.128 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an＋1＝Sn＋1－Sn， 代入an＋1＝Sn＋1， 可得Sn＋1－Sn＝Sn＋1， 即Sn＋1＝2Sn＋1，两边同时加1， 可得Sn＋1＋1＝2Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)， ∴数列{Sn＋1}是以2为公比的等比数列， ∵S2＋1＝3＋1＝4， ∴Sn＋1＝(S2＋1)·2n－2＝4·2n－2＝2n，∴Sn＝2n－1， ∴ S8＝28－1＝255. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得， 又{an}都为正项，则Sn>0， 故Sn＋1－Sn＝3n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.设等比数列{an}的公比为q，若a1a5a9＝64，则 A.a5＝4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即a5＝4，故A正确； 当a1＝1时，a5＝a1q4＝4， 所以a1和a9的等比中项为4或－4，故C错误； 当且仅当a1＝a9＝4时，等号成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若公比q＝－1，则S2n＝0， 所以Sn，S2n，S3n不能构成等比数列，故C错误； 若公比q＝－1，且n为偶数， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都等于0， 此时不能构成等比数列，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a8<0，a4＋a13>0，则 A.数列{an}为递增数列 B.数列{an}为递减数列 C.S15>0 D.S16>0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a4＋a13＝a8＋a9>0，而a8<0， 所以a9>0，则d＝a9－a8>0， 所以数列{an}为递增数列，故A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴数列{an}是以3为周期的周期数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，a1a2a3…a2 024＝(a1a2a3)674·a1a2＝1，故C错误； 对于D，由递推关系式得anan＋1＝an－1， ∴a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋a2 022a2 023 ＝(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(a2 022－1) ＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022－2 022 ＝1 011－2 022＝－1 011，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 13.已知数列{an}满足anan＋2＝ ，n∈N+，若a7＝16，a3a5＝4，则a2的 值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}为等比数列，设其公比为q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2023·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋2an＝－1，则an＝ ___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得Sn＋2an＝－1， 即Sn＝－2an－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2023·德州模拟)写出一个同时具有下列性质①②的数列{an}的通项公式：an＝________________________. ①am－n＝am－an(m>n，m，n∈N+)；②{an}是递增数列. 2n(kn(k>0)的形式即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设数列为等差数列，设其公差为d， 首项为a1， 由性质①可得a1＋(m－n－1)d＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d， 整理得a1＝d， 即an＝a1＋(n－1)d＝dn， 再根据②可知，公差d>0，取d＝2， 显然an＝2n满足题意.(符合kn(k>0)的形式即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知向量序列：a1，a2，a3，…，an满足如下条件：|a1|＝4|d|＝2,2a1·d＝－1且an－an－1＝d(n＝2,3,4，…).若a1·ak＝0，则k＝______；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第______项最小. 9 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an－an－1＝d(n＝2,3,4，…)， 所以an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，…，a2－a1＝d， 累加得an＝a1＋(n－1)d， 所以ak＝a1＋(k－1)d， an＝a1＋(n－1)d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a＝a2a6＝(a3－4)(a3＋3×4)， 当n≥2时，＝2，即＝2， 所以···＝24， 所以＝24，故a10＝25＝32. 4.(2023·漳州模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10等于 A.30 B.±30 C.40 D.±40 令bn＝，设数列的公比为q， 所以b4＝＝，b8＝＝2， 又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2， 所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40. ∴蒲的生长构成首项为4，公比为的等比数列，其前n项和为 Sn＝＝8－n－3， 其前n项和为Tn＝＝2n－1， 又∵Tn＝2Sn，∴2n－1＝2×， 6.已知数列{an}满足a1＝，且对任意的正整数m，n，都有am＋n＝aman，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn等于 A.2－n－1 B.2－n C.2－ D.2－ 令m＝1，则an＋1＝a1an＝an， 所以数列{an}是公比为，首项为的等比数列， 所以Sn＝＝2＝2－. 8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S－3nan＋1＝Sn(Sn＋2·3n)，则S2 023等于 A.32 023－1 B. C. D. S－3n(Sn＋1－Sn)＝Sn(Sn＋2·3n)， 则S－S＝3n(Sn＋1＋Sn)， 所以S2 023－S2 022＋…＋S3－S2＋S2－S1＝32 022＋…＋32＋3＝， 所以S2 023－S1＝S2 023－2＝， 故S2 023＝. B.当a1＝1时，q＝± C.a1和a9的等比中项为4 D.a＋a≥32 由题意，a1a5a9＝a＝64， 所以q＝±，故B正确； 因为a1a9＝a＝16， 因为a＋a≥2a1a9＝32， 10.记Sn为等比数列{an}的前n项和，则 A.是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列 C.Sn，S2n，S3n成等比数列 D.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 则有＝q，所以＝＝， 所以是以为公比的等比数列，故A正确； ＝q2， S15＝＝15a8<0，故C错误； S16＝＝8(a4＋a13)>0，故D正确. 12.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＋＝1，n∈N+，则 A.a2 024＝1 B.a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝ C.a1a2a3…a2 024＝1 011 D.a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋a2 022a2 023＝－1 011 ∵a1＝2，an＋1＋＝1， ∴a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，…， 对于A，a2 024＝a674×3＋2＝a2＝，故A错误； 对于B，a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝674(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2)＝674×＋2＋＝，故B正确； a －或 因为anan＋2＝a，n∈N+， 由a7＝16，a3a5＝a＝4， 得a4＝±2，q3＝＝±8，所以q＝±2. 当q＝2时，a4＝2，则a2＝； 当q＝－2时，a4＝－2，则a2＝－. 综上，a2的值为－或. －×n－1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2an－1－(－2an－1－1)＝－2an＋2an－1，即an＝an－1， 当n＝1时，3a1＝－1，即a1＝－， 因此数列{an}是首项为－，公比为的等比数列，所以an＝－×n－1. 则a1·ak＝a＋(k－1)a1·d＝0， 即4－＝0，解得k＝9； 即a＝|an|2＝[a1＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N+)， 易知当n－1＝－＝2，即n＝3时，|an|取得最小值. $