专项练习04：排列组合常考小题专项练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习04：排列组合常考小题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：排列数与组合数计算】 1．(24-25高二下·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 2．(24-25高二下·海南屯昌中学·期中)计算下列各式. (1)； (2). 3．【多选题】(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 4．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 5．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知，则=（    ） A．105 B．120 C．210 D．240 【题型2：特殊元素或特殊位置优先】 6．(25-26高三上·上海黄浦区上海理工大学附属储能中学·期中)有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有______ 种. 7．(25-26高三上·上海嘉定安亭高级中学·期中)已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 8．(25-26高三上·重庆部分校·月考)甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（    ） A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 9．4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 10．(24-25高二下·山东聊城·期末)某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【题型3：相邻与不相邻问题】 11．(25-26高三上·河北名校协作体·期中)某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 12．【多选题】(24-25高二上·广西梧州普通高中·期中)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 13．(24-25高二下·浙江宁波中学·期中)四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（    ） A．384 B．360 C．216 D．408 14．(24-25高二下·陕西咸阳实验中学·)3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有_________种排法.（用数字作答） 15．(24-25高三·河北名校联考·三模)某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为_____. 【题型4：平均分组与部分平均分组】 16．(25-26高三上·河南部分校·期中)某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 17．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为_____． 18．(23-24高二下·重庆部分学校·期中)某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 19．(24-25高二下·四川成都石室成飞中学·月考)将5本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到1本书，且甲同学只得到1本书，则不同的分法总数为________. 20．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期中)要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有__________种不同的装法. 【题型5：分类加法与分步乘法综合】 21．(25-26高二上·黑龙江绥化新时代高中教育联合体·期中)甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有（    ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 22．(24-25高二下·山东临沂莒南县·期中)某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 23．【多选题】(24-25高二下·浙江G5联盟·期中)现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（   ） A．共有种不同的放法 B．恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 24．【多选题】(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是（   ） A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 25．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______ 种. 【题型6：先分组后分配问题】 26．(24-25高二下·河北秦皇岛山海关第一中学·期中)某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有_____________种. 27．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　   　） A．120 B．210 C．150 D．180 28．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（   ） A．36种 B．72种 C．98种 D．108种 29．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有__________种. 30．某校五位同学准备前往3个村寨调研，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【题型7：与数字有关的排列问题】 31．(24-25高二下·广西贵港桂平·期中)从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为________，能被3整除的四位数的个数为________． 32．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 33．(24-25高二下·北京第二十七中学·期中)用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数. 34．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中)若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 35．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个. 【题型8：图形染色问题】 36．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______． 37．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 38．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 39．【多选题】(24-25高二下·广东深圳·期中)将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 40．(24-25高二下·河北保定六校联盟·期中)如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 【题型9：排列与组合综合应用】 41．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 42．【多选题】(24-25高二下·安徽A10联盟·期中)现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲、乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有16种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 43．(24-25高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 44．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 45．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 【题型10：隔板法】 46．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 47．(24-25高二下·天津崇化中学·期中)把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有______种（用数字作答）. 48．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期中)不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 49．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（    ） A．35 B．56 C．84 D．120 50．【多选题】(22-23高二下·山东菏泽·期中)现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【高二期中专项练习04：排列组合常考小题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：排列数与组合数计算】 1．(24-25高二下·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)15； (3)7. 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）根据排列数公式化简方程，解方程求. 【详解】（1）； （2）； （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 2．(24-25高二下·海南屯昌中学·期中)计算下列各式. (1)； (2). 【答案】(1)600 (2)13 【分析】利用排列数与组合数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 3．【多选题】(24-25高二下·广东惠州光正实验学校·期中)下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以或， 即或，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由组合数公式可知，故C正确； 对于D，，， ， ，故D错误． 故选：BC． 4．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【分析】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【详解】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 5．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)已知，则=（    ） A．105 B．120 C．210 D．240 【答案】B 【分析】结合组合数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以 所以 故选：B 【题型2：特殊元素或特殊位置优先】 6．(25-26高三上·上海黄浦区上海理工大学附属储能中学·期中)有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有______ 种. 【答案】36 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间三人即可. 【详解】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长， 则不同的排列种数有种． 故答案为：. 7．(25-26高三上·上海嘉定安亭高级中学·期中)已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 【答案】 【分析】利用分步计数原理，优先安排甲，再排其他3人，最后利用乘法即可求解. 【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒， 则首先安排甲跑第二或第四棒，共有2种方法； 再安排剩下三棒，共有种方法； 所以不同的交接棒安排顺序有种方法， 故答案为：. 8．(25-26高三上·重庆部分校·月考)甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（    ） A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 【答案】B 【分析】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，得到答案, 【详解】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，故这三人的不同选择方法共有种. 故选：B 9．4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 【答案】 【分析】先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，将剩余的5人全排即可. 【详解】第一步，先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，共有种排法； 第二步，将剩余的5人排在队伍中间，共有种排法. 所以，满足条件的排法种数有种. 故答案为： 10．(24-25高二下·山东聊城·期末)某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 【题型3：相邻与不相邻问题】 11．(25-26高三上·河北名校协作体·期中)某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（    ） A．16 B．20 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据不相邻及特殊位置列式结合排列数计算求解. 【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 12．【多选题】(24-25高二上·广西梧州普通高中·期中)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BD 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况： 若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法，故D正确. 故选：BD. 13．(24-25高二下·浙江宁波中学·期中)四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（    ） A．384 B．360 C．216 D．408 【答案】A 【分析】根据题意，分2种情况分析：①，一排坐1人，另一排坐3人，②，两排各坐2人，结合排列数和组合数公式，由分类计数原理计算即可得答案. 【详解】依根据题意，分2种情况分析： ①，一排坐1人，另一排坐3人； 先选一排坐三人不相邻（只能排第一列、第三列、第五列）， 再把另外一人安排另一排的符合题意（第二列、第4列）的位置：有种情况， ②，两排各坐2人，先确定这两排不相邻位置，再安排人， 记第一排五个位置为，第二排五个位置为，则符合题意的位置有 ，共12种，再让四位同学坐有， 此时有种情况， 综上共有种排法. 故选：A． 14．(24-25高二下·陕西咸阳实验中学·)3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有_________种排法.（用数字作答） 【答案】72 【分析】先排男生，再从3名女生中选2名女生排在3名男生的中间，最后一名女生排在首或尾，最后由分步乘法计算原理可得出答案. 【详解】先排男生，则有种，再从3名女生中选2名女生排在3名男生的中间， 则有种排法，最后一名女生排在首或尾，再有种排法， 最后由分步乘法计算原理可得：. 故答案为：72. 15．(24-25高三·河北名校联考·三模)某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为_____. 【答案】/ 【分析】先对女生分组然后排列剩余男生与班主任再插空最后排相邻两女生，最后用古典概型计算概率即可. 【详解】由题意，先将2位男生和班主任排成一排，有种排法，然后将3位女生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后2位男生和班主任排列后产生4个空有种插空方法，最后交换相邻2位女生的位置有种方法，所以3位女生中有且只有2位相邻共有种排法， 又因为6人随机排成一排有种排法， 所以所求概率为. 故答案为: 【题型4：平均分组与部分平均分组】 16．(25-26高三上·河南部分校·期中)某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（    ） A．150种 B．240种 C．180种 D．120种 【答案】A 【分析】由题意人数分配只能是“2,2,1”与“3,1,1” 两种组合，分类求解即可. 【详解】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是 “2,2,1” 或 “3,1,1” 两种组合， 若人数分配为“2,2,1”，则有种不同选择情况； 若人数分配为“3,1,1”，则有种不同选择情况； 综上，共有种不同选择情况. 故选：A 17．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为_____． 【答案】88 【分析】先安排再安排，根据选择北京故宫、西安兵马俑中个数，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解. 【详解】当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且只去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑这个且只去个景点时， 只需将其他个景点分给，，有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑且去个景点时，有种选择， 只需将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择， 种， 故共有种不同的打卡方案． 故答案为：． 18．(23-24高二下·重庆部分学校·期中)某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】结合题意，由分类加法和分步乘法原理，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦；第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再利用排列组合计算可得. 【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种； 第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种． 故不同的种植方案共有种， 故选：C． 19．(24-25高二下·四川成都石室成飞中学·月考)将5本不同的书分发给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到1本书，且甲同学只得到1本书，则不同的分法总数为________. 【答案】 【分析】取一本书给甲，再将余下的4本书分成两组，并分给乙丙即可. 【详解】取1本书给甲，有种方法，再把余下4本书分成两组，不同分组方法有种， 将分得的两组分给乙丙，有种方法， 所以不同的分法总数为：. 故答案为：70 20．(24-25高二下·黑龙江哈尔滨德强高级中学·期中)要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，一共有__________种不同的装法. 【答案】90 【分析】对三个手提袋中的书本数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果． 【详解】要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里，分以下几种情况讨论： ①若三个相同的手提袋里的书本数量分别为1、1、4，此时有种不同的装法； ②若三个相同的手提袋里的书本数量分别为1、2、3，此时共有种不同的装法； ③若三个相同的手提袋里的书本数量分别为2、2、2，此时共有种不同的装法； 综上所述，由分类加法计数原理可知，不同的装法种数为种． 故答案为：90. 【题型5：分类加法与分步乘法综合】 21．(25-26高二上·黑龙江绥化新时代高中教育联合体·期中)甲盒子中有大小材质完全相同的5个红球和3个蓝球；乙盒子中有大小材质完全相同的6个红球和2个蓝球．若从甲、乙两个盒子中各随机取出2个球，则取出的4个球中恰有3个红球的不同取法共有（    ） A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 【答案】D 【分析】分为两种情况：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出2红；甲盒取出2红、乙盒取出1红1蓝，分别计算种数再相加即可． 【详解】4个球中恰有3个红球，可分为两种情况： 第一种：甲盒取出1红1蓝、乙盒取出2红，此时有； 第二种：甲盒取出2红、乙盒取出1红1蓝，此时有； 故共有种不同的取法． 故选：D. 22．(24-25高二下·山东临沂莒南县·期中)某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种． 【答案】21 【分析】根据迈三级台阶的次数分类讨论，最后再由分类加法计数原理即可得不同的走法总数. 【详解】考虑迈三级台阶的次数： 迈0次三级台阶，即每次迈2级台阶，走7次，只有1种走法； 迈1次三级台阶，还有11级，无法被2整除，不可能； 迈2次三级台阶，还有8级，再迈4次2级台阶，一共要迈6次，所以有种走法； 迈3次三级台阶，还有5级，无法被2整除，不可能； 迈4次三级台阶，还有2级，再迈1次2级台阶，一共要迈5次，所以有种走法； 迈5次三级台阶，已经超过14级台阶了，不可能， 根据分类加法计数原理，不同的走法共有种. 故答案为：21. 23．【多选题】(24-25高二下·浙江G5联盟·期中)现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（   ） A．共有种不同的放法 B．恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种 【答案】BC 【分析】A应用分步乘法判断；B、C、D应用分步分类计数原理及排列组合数判断； 【详解】A：由题意，每个球都有5种放法，故共有种不同的放法，错； B：恰有两个盒子不放球，则任选3个盒子放球有种，将4个球分成3组有种， 最后把3组球放进所选的3个盒子中有种，故共有种，对； C：从四个编号中选2个放同编号的球有种， 若另2个盒子放余下2个球有1种放法，若余下2球一个放在5号盒子有2种放法， 所以，共有种，对； D：4个相同的球放到5个不同的盒子，恰有一个空盒有种放法，错. 故选：BC 24．【多选题】(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是（   ） A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 【答案】BC 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，利用排列数公式判断B，利用组合数公式判断C，先排两个数，再利用插空法判断D. 【详解】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误； 对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确； 对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字， 所以这样的四位数有个，故C正确； 对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种， 再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法， 按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误. 故选：BC 25．某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______ 种. 【答案】 【分析】根据题意，分配模式为1，1，2或0，1，3或0，2，2，三种情况讨论，由排列、组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. 【题型6：先分组后分配问题】 26．(24-25高二下·河北秦皇岛山海关第一中学·期中)某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有_____________种. 【答案】114 【分析】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【详解】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 27．(24-25高二下·新疆喀什疏附县·期末)某市科技馆在国庆假期期间需派遣5名志愿者到3个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排1人.则不同的安排方法种数为（　   　） A．120 B．210 C．150 D．180 【答案】C 【分析】根据题意，分为两类情况：按照进行分配和按照进行分配，利用排列组合数计算后，运用分类加法计数原理即得. 【详解】因每个展区至少安排1人，故有两类情况： ① 将5名志愿者按照进行分配，有种方法； ② 将5名志愿者按照进行分配，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故选：C. 28．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（   ） A．36种 B．72种 C．98种 D．108种 【答案】B 【分析】根据已知某地区派驻有两名医生，分类讨论，分地区有两名医生和或区有两名医生，然后分配3名护士，即可求解. 【详解】若地区派驻两名医生，则有种不同方式； 若或区有两名医生，则有种不同方式. 所以不同的派驻方式有种. 故选：B. 29．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有__________种. 【答案】1560 【分析】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解. 【详解】先将6名记者分成4组，有和两种分法， 共种， 再将4组分配到四个会场，共种， 则有种. 故答案为：1560 30．某校五位同学准备前往3个村寨调研，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】将甲乙看成一个整体，分五位同学最终选择为3，1，1或2，2，1两种情况分别求解即可. 【详解】若五位同学最终选择为3，1，1，先选择一位同学与学生甲和学生乙组成3人小组， 剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择， 若五位同学最终选择为2，2，1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列， 此时有种选择， 综上，共有种选择． 故选：B 【题型7：与数字有关的排列问题】 31．(24-25高二下·广西贵港桂平·期中)从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为________，能被3整除的四位数的个数为________． 【答案】 72 120 【分析】空一：通过捆绑法即可求解，空二：先确定四个数各位数之和为3的倍数的个数，再通过全排列求解即可. 【详解】由捆绑法可得2与3相邻的四位数的个数为． 要使组成的四位数能被3整除，则该四位数各位数之和为3的倍数， 取出的四个数各位数之和为3的倍数的情况有，，，，，共5种， 所以组成的四位数能被3整除的个数为． 故答案为：72；120 32．(24-25高二下·天津滨海新区大港第一中学·)若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 【答案】52 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解． 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况： 第一种，0在个位，有个； 第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法， 排十位有种方法，此时共有个， 所以符合题意的三位偶数共有个． 故答案为：52 33．(24-25高二下·北京第二十七中学·期中)用、、、、、这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数. 【答案】 【分析】分析可知五位数的首位不能排，然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知，五位数的首位不能排，有种选择， 然后从剩余个数字选择个数字排剩余个数位， 因此，满足条件没有重复数字的五位数的个数为. 故答案为：. 34．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第二十三中学·期中)若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 【答案】 【分析】运用分类计数原理，结合排列组合知识可求解. 【详解】因为，所以有两类不同情形： （1）是两位数，都是三位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法， 又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组； （2）是两位数，是四位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法. 如果，则只有，的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法， 此外，与的排法各占一半，即， 所以，有291个满足条件的幸运数组； 综上，所求幸运数组的个数为591. 故答案为：591. 35．(24-25高二下·福建厦门外国语学校（海沧校区）·期中)用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个. 【答案】30 【分析】利用消序法来解决相同元素的排列问题即可. 【详解】由题意得：不同的五位数有：个， 故答案为：. 【题型8：图形染色问题】 36．(24-25高二下·福建莆田第二中学·期中)春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有_______． 【答案】420 【分析】根据题意，按所使用的花卉颜色种数进行分类，三种颜色共有种方案，四种颜色共有种方案，五种颜色共有种方案，相加即可. 【详解】由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色、四种颜色、五种颜色. （1）当用三种颜色时，花池2,4同色和3,5同色，此时共有种方案； （2）当用四种颜色时，花池2,4同色或3,5同色，此时共有种方案； （3）当用五种颜色时，花池都不同色，此时共有种方案； 因此，所有栽种方案共有种. 故答案为：420. 37．(24-25高二下·湖北天门外国语，江汉学校等·期中)用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【分析】先涂区域，再分类讨论涂4的种数，根据对称性知3，6的涂法，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 38．(24-25高二下·黑龙江大庆铁人中学·期中)春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 39．【多选题】(24-25高二下·广东深圳·期中)将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【分析】根据所用颜色种数，以及各区域所用颜色的规定，运用两个计数原理逐一计算判断即可. 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 40．(24-25高二下·河北保定六校联盟·期中)如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（   ） A．48 B．24 C．144 D．72 【答案】D 【分析】根据题意，分选三种颜色与选四种颜色讨论，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D 【题型9：排列与组合综合应用】 41．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有印有“温、良、恭、俭、让”5个字的书签各2张，10张书签的颜色和图案互不相同.从10张书签中抽取4张分给4位同学，每人一张书签，恰有2位同学分到的书签上汉字相同的分配方案有（   ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【分析】先从10张书签中选出4张，其中两张相同，另外两张各不相同，再分配给4位同学. 【详解】第一步，先从10张书签中选出4张，由题可知选到的4张书签中有两张汉字相同，其余两张各不相同， 共有种不同的选法； 第二步，将抽到的4张书签分给4位同学有种不同的分法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有：种. 故选：D. 42．【多选题】(24-25高二下·安徽A10联盟·期中)现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲、乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有16种 D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 【答案】ABD 【分析】对于A根据分步计数原理即可求解，对于B恰有一项工作无人去参加，首先从3项工作中选1项无人参加有，再将4人安排到两项工作即可，对于C每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组和不同组即可求解，对于D每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配即可. 【详解】对于A：安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确； 对于B：恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，再将4人安排到两项工作有种， 故一共有种安排方法，故B正确； 对于C：每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，若甲、乙同组，则有种， 若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加A项工作，则安排不含甲、乙的一组参加工作A， 剩下的两组安排参加B，C两项工作，则种，综上，一共有种安排方法，故C错误； 对于D：每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配， 则不同的安排方法有种，故D正确． 故选：ABD． 43．(24-25高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·期中)某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 【答案】D 【分析】依题意，先考虑主治医师的两种分配方案，在每种方案中（注意平均分组），再考虑对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇即可. 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 44．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果. 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 45．(24-25高二下·福建福州第十一中学·期中)春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 【答案】C 【分析】分相反方向各移动两次和两组不同的相反方向各移动一次，利用排列组合的相关知识计算即可. 【详解】要使手臂回到原来位置，可分以下两种情况： 情况一：相反方向各移动两次（例如，向前移动两次，向后移动两次） 从组相反方向（前与后、左与右、上与下）中选组，有种选法， 然后在次移动中安排这两次相同方向的移动，有种方法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 情况二：两组不同的相反方向各移动一次 从组相反方向中选组，有种选法， 然后对这次不同方向的移动进行全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 所以手臂回到原来位置的情况共有种. 故选：C 【题型10：隔板法】 46．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 47．(24-25高二下·天津崇化中学·期中)把个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子最多放个小球，则不同方法有______种（用数字作答）. 【答案】 【分析】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，其中有空盒的放法种数；接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，结合隔板法和间接法可求得结果. 【详解】先考虑个相同的小球放入个不同的盒子的情形，那么其中有空盒， 可考虑在每个盒子中各加一个球，问题转化为将个相同的小球放入个不同的盒子， 每个盒子中至少有个球，由隔板法可知，不同的方法种数为种； 接下来考虑把个相同的小球放在同一个盒子的情形，有种情况. 由间接法可知，不同的方法种数为种. 故答案为：. 48．(24-25高二下·宁夏六盘山高级中学·期中)不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法和组合数的性质求结论. 【详解】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. 49．(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知元一次方程（，，，）的正整数解的个数为，则方程满足（）的整数解的个数为（    ） A．35 B．56 C．84 D．120 【答案】B 【分析】令，得到，结合条件即可求解. 【详解】由得，， 令，. 则原问题等价于方程的正整数解的个数， 由题意知符合条件的个数为， 故选：B. 50．【多选题】(22-23高二下·山东菏泽·期中)现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是（    ） A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空， 只需在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种，A错； 对于B选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况，然后在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种，B对； 对于C选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这个不同的小球分为三组， 每组小球的个数分别为、、或、、或、、，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，C对； 对于D选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为、或、或、， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，D错. 故选：BC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $