第二章 必刷小题3 基本初等函数（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第二章 必刷小题3　基本初等函数 一、单项选择题 1.已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)等于 A.3 B. C.1 D.－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知g(x)是f(x)＝log3x的反函数， 所以g(x)＝3x， √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设f(x)＝xα， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2023·马鞍山质检)已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.3，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 因为a＝log30.3<log31＝0，b＝30.3>30＝1,0<c＝0.30.3<0.30＝1， 所以a<c<b. 4.(2024·成都模拟)已知函数f(x)＝logax＋2(a>0且a≠1)在区间 上的最大值为4，则a的值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即loga4＋2＝4，解得a＝2； 6 5.(2023·西安模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴y＝logax＋a单调递减， 又当x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，故A正确，B错误； ∴y＝logax＋a单调递增，故C，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是 A.10 B.1 C.11 D.lg 11 √ 设t＝4x－2x＋1＋11，则y＝lg t， 因为t＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10， 所以y＝lg t≥lg 10＝1， 所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.a>c>b B.c>a>b C.c>b>a D.a>b>c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ln c>ln a，即c>a，又a＝ >0， 因此c>a>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(2023·人大附中模拟)净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 设过滤后水中大颗粒杂质含量为y mg/L， 若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5 mg/L， ∵y＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x(lg 2－lg 3)≤－1， ∵x∈N+ ，∴x的最小值为6， ∴PP棉滤芯层数最少为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝ 的图象可 能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a>b>0时，A正确； 当b>a>0时，B正确； 当0>a>b时，D正确； 当0>b>a时，无此选项. 10.若0<a<1，则下列关系成立的是 A.loga(1－a)>loga(1＋a) B.loga(1＋a)<0 C. D.a1－a<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 因为0<a<1，所以0<1－a<1＋a， 因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正确； 因为0<a<1，所以1<1＋a<2， 因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此 ，故C不正确； 因为0<a<1，所以0<1－a<1， 因此a1－a<a0＝1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知1<ea<eb，则下列大小关系中不正确的是 √ √ √ 因为1<ea<eb，则b>a>0，因此b2>a2，A不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 log2b>log2a，C不正确； 12.(2024·绥化模拟)已知函数f(x)＝a· ＋b的图象经过原点，且无限接 近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是 A.a＋b＝0 B.若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C.若x<y<0，则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a＋b＝0，故A正确； ∵函数f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交， 由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y， 则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上单调递减， 故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误； 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.方程logx10＋ ＝6的解为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2024·楚雄模拟)已知函数f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是________. (1,2) 令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－ ， 因为f(x)>1恒成立， 解得1<a<2， 即实数a的取值范围是(1,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－2－x，若实数a，b满 足f(2a2)＋f(b2－1)＝0，则 的最大值为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得函数f(x)的定义域为R， 又f(－x)＝(－x)3＋2－x－2x＝－x3＋2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数， 因为函数y＝x3，y＝2x，y＝－2－x均为R上的增函数，故函数f(x)为R上的增函数. 由f(2a2)＋f(b2－1)＝0可得f(2a2)＝－f(b2－1)＝f(1－b2)，所以2a2＝1－b2，即2a2＋b2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以g(－1)＝3－1＝. 2.(2023·邯郸质检)已知幂函数f(x)满足＝4，则f 的值为 A.2 B. C.－ D.－2 则＝＝3α＝4， 所以f ＝α＝＝. A. B.2 C. D.2或 当a>1时，f(x)＝logax＋2在上单调递增，f(x)max＝f(4)＝4， 当0<a<1时，f(x)＝logax＋2在上单调递减，f(x)max＝f ＝4， 即loga＋2＝4， 解得a＝， 综上，a＝2或a＝. 对于A，B，若y＝a－x＝x的图象正确，则0<a<1， 对于C，D，若y＝a－x＝x的图象正确，则a>1， 7.(2023·昆明模拟)设a＝ ，b＝ln－ln 3，c＝ ，则下列判断正确的是 ∵b＝ln－ln 3＝－＝＝<＝0， 又ln a＝ ＝<，ln c＝ ＝ln π>， 则经过x层过滤后，满足y＝25×x＝25×x，x∈N+， 则25×x≤2.5，即x≤， ∴lgx≤lg ，∴xlg ≤－1， ∵lg 2－lg 3<0，∴x≥≈≈5.6， x A.a2>b2 B.a>b C.log2a>log2b  D.a＋>b＋ a>b，B正确； 而>，即有b＋>a＋，D不正确. |x| ∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点， 即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a， ∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2. 由于|x|∈(0,1]， ∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确. 13.计算： ＋πlg 1＋log2－log4＝______. ＋πlg 1＋log2－log4 ＋π0＋log2－log2 ＝2＋1＋log2＝＋1－1＝. x＝ 由题意得logx10＋ ＝＋＝＝＝6，即lg x＝， 解得x＝. 所以g(x)≥g＝3－， 所以即 a 当a取最大值时，a>0， 所以a＝＝≤＝， 当且仅当即时等号成立， 因此，a的最大值为. $