第二章 §2.10 函数的图象（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第二章 §2.10　函数的图象 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.利用描点法作函数图象的步骤： 、 、 . 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 列表 描点 连线 f(x)＋k f(x＋h) f(x－h) f(x)－k 知识梳理 5 (2)对称变换 ①y＝f(x) y＝ . ②y＝f(x) y＝ . ③y＝f(x) y＝ . ④y＝ax (a>0，且a≠1) y＝ . －f(x) f(－x) －f(－x) logax(a>0，且a≠1) 知识梳理 6 (3)翻折变换 ①y＝f(x) y＝ . ②y＝f(x) y＝ . | f(x)| f(|x|) 知识梳理 7 1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换. 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称. (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x). 常用结论 8 3.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称. (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. 常用结论 9 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数.(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到. (　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　) × × × × 自主诊断 √ 当x→＋∞时，f(x)→0，A，B错误. 自主诊断 11 3.函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以 作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x) 的图象有两个交点. 自主诊断 4.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. e－x＋1 由题意可知f(x)＝e－x， 把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1的图象. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　作出下列各函数的图象： 题型一　作函数图象 位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示. (2)y＝|x2－4x－5|； y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示. 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图. (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画. (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图. (4)画函数的图象一定要注意定义域. 思维升华 跟踪训练1　作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示. 题型二　函数图象的识别 √ (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是 √ 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符， 故排除B； 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断. (2)利用函数的零点、极值点等判断. (3)利用特殊函数值判断. 思维升华 √ √ 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故A，C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故D错误，B正确. 题型三　函数图象的应用 例3　(多选)已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B.函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 √ √ 命题点1　利用图象研究函数的性质 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误； 易知函数f(x)的图象是由y＝ 的图象平移得到的，所以不存在两点A， B使得直线AB∥x轴，C错误. 例4　(2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 命题点2　利用图象解不等式 √ 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 例5　(2023·保定联考)已知函数f(x)＝　　　　　　　　若函数g(x)＝f(x) －a有三个零点，则a的取值范围是 A.(0,1) B.(0,2] C.(2，＋∞) D.(1，＋∞) 命题点3　利用图象求参数的取值范围 √ 要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点， 则f(x)＝a有三个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0,1)； 当－1<x≤0时，f(x)＝3x＋1－1在(－1,0]上单调递增，f(x)∈(0,2]； 当x>0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示. 由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1). 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解. 思维升华 跟踪训练3　(1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2. 所以a的最大值为2. (2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实 数根，则实数k的取值范围是________. 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为 ，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范 (3)(多选)记max{x，y，z}表示x，y，z中的最大者，设函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}，则以下实数m的取值范围中，满足f(m)<1的有 A.(－1,4) B.(－1,1) C.(3,4) D.(4，＋∞) √ √ 函数f(x)＝max{－x，x－3，－x2＋4x－2}的图象如图所示. 返回 由－x2＋4x－2＝1，得x＝1或x＝3， 由图象可知，当－1<m<1或 3<m<4时，f(m)<1，因此选项B，C符合题意. 课时精练 一、单项选择题 1.(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为 A.y＝2(x－2)2＋6 B.y＝2x2＋6 C.y＝2x2 D.y＝2(x－2)2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象， 再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象. 2.(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间 上的图象大致为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　(特值法) 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数，排除B，D； 结合选项知A正确. 3.(2024·温州模拟)函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则该函数可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是 A.1－f(x) B.－f(2－x) C.f(－x)－1 D.1－f(－x) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2， 将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数 y＝f(－x)的图象， 再向下平移1个单位长度，可得y＝f(－x)－1的图象， 所以题图2所表示的函数是y＝f(－x)－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是 A.(－1,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.∅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数 y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示， 由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点， 分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)， 即不等式f(x)>0的解集是(0,1). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2023·烟台模拟)若某函数在区间[－π，π]上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A.y＝(x＋2)sin 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A选项，设f(x)＝(x＋2)sin 2x， 则f(x)<0，不符合图象，排除A； 且2<x＋2<π＋2,0<sin x≤1,1<x＋1<π＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以0<(x＋2)sin x<π＋2. 令f(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，不符合图象，排除D. 二、多项选择题 7.(2023·宜春模拟)函数f(x)＝ 的图象如图所示，则下列结论一定成 立的是 A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.abc<0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 当x＝－c时，函数f(x)无意义， 由图知－c<0，所以c>0，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又因为b<0，所以a>0，A错误； 综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确. 8.(2024·南京模拟)若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法错误的是 A.函数f(x)为奇函数 B.函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C.f(x)min＝－4 D.函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)， 可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4， 当x<1时，2－x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，则f(x)＝f(2－x)＝x2－4， 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减， f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D错误，C正确. 64 三、填空题 9.把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y＝2(x＋1)2＋3 把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象. 10.若函数f(x)＝ 的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 关于点(1，a)对称，故a＝1. 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当x≤0时，0<2x≤1， 则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)， 作出函数f(x)的图象，如图所示. (1)作出函数f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f(x)－m＝0可得m＝f(x)， 则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m 与函数y＝f(x)图象的交点个数，如图所示. 当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根； 当0<m<1或m≥2时，方程f(x)－m＝0只有一个实根； 当1≤m<2时，方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知函数f(x)＝ax－2的图象经过点 ，其中a>0且a≠1. (1)若f(t＋2)＝3，求实数a和t的值； 解得a＝2，则f(x)＝2x－2， 所以f(t＋2)＝2t＝3，可得t＝log23. (2)设函数g(x)＝ 请在平面直角坐标系中作出g(x)的简图， ①根据图象写出该函数的单调递增区间； 由图可知，函数g(x)的单调递增区间为[－1,0]，(0，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②求g(x)≤1的解集. 当x≤0时，由g(x)＝|x＋1|≤1， 可得－1≤x＋1≤1， 解得－2≤x≤0，此时－2≤x≤0； 当x>0时，由g(x)＝2x－1≤1，可得2x≤2， 解得x≤1，此时0<x≤1. 综上所述，不等式g(x)≤1的解集为[－2,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(2023·赤峰模拟)若函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值是3，则n－m的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 作出函数f(x)＝x(|x|－2)＝ 的图象，如图所示， 当x≥0时，令x(x－2)＝3， 得x1＝－1(舍)，x2＝3， 当x<0时，令x(－x－2)＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 73 14.(2024·抚顺联考)若函数f(x)＝ 恰有3个零点，则实数a的取值范围是____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－5，－4) 由图可知，当a∈(－5，－4]时， 直线y＝a与函数g(x)的图象有3个交点， 从而f(x)有3个零点， 但x2－4x－a>0对x>0恒成立，则a<－4， 故a∈(－5，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 2.函数f(x)＝的部分图象大致为 由于f ＝<0，故D错误， (1)y＝； 原函数解析式可化为y＝2＋， 故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单 (3)y＝|x－1|－1.  y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，而y＝|x|＝ 其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝|x－1|－1的图象如图所示.  y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示. 例2　(1)(2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为 因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D. 由题意知函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A； 因为f(1)＝>0，故排除B； A.y＝ B.y＝ C.y＝  D.y＝ 对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与 图象不符，故排除D； 对于选项C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，故排除C. 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝sin x的部分图象为 因为f(x)＝sin x，所以f(0)＝0，故排除A和B； 又f ＝ ＋1<2，故排除C，而D满足. (2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为 函数f(x)＝ 所以y＝g(x)＝f(1－x)＝ 因为f(x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝ A.(－，0)∪(，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D.(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2). 围为. 由⇒⇒A(4,1)， 由⇒⇒B(－1,1)， 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1)＝－cos 1<0. 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故A正确. A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 4个选项中函数的定义域均为R，对于A，  f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x) 为奇函数，f(4)＝>0； 对于B，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，f(4)＝<0； 对于C，f(x)＝，f(－x)＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，f(4)＝<0； 对于D，f(x)＝，f(－x)＝ ＝－f(x)，故f(x)为奇函数， f(4)＝ <－1.由图知f(x)为奇函数，故排除C； 由f(4)<0，故排除A，由f(4)>－1，故排除D. B.y＝ C.y＝ D.y＝ 则当x∈时，2x∈(π，2π)， C选项，设f(x)＝， 当x∈(0，π)时，f(x)＝， 所以f(x)＝<(x＋2)sin x<π＋2<6， 不符合图象，排除C； D选项，设f(x)＝， 由图知f(0)＝>0，所以b<0，B正确； 令f(x)＝0，解得x＝，由图知<0， 所以f(x)＝ 作出f(x)＝的图象，如图所示，  f(x)＝＝a＋， 11.已知函数f(x)＝ 由题意可得f(1)＝a－1＝， 由(1)可得g(x)＝作出函数g(x)的图象，如图所示. A.4－ B.2＋ C.4＋ D.2－ 得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)， 结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋. 由f(x)＝0，得a＝ 作出函数g(x)＝的图象，如图所示. $