第二章 §2.1 函数的概念及其表示（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第二章 §2.1　函数的概念及其表示 1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的 ，如果按照某种 的对应关系f，对于集合A中的 ，在集合B中都有 的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B). 实数集 确定 任何一个数x 唯一 知识梳理 5 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 、 、 . (2)两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等. 定义域 对应关系 值域 知识梳理 6 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数. 解析法 列表法 知识梳理 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.(　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　) (3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.(　　) (4)函数f(x)＝ 的定义域为R.(　　) √ × × √ 自主诊断 2.(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是 在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象. √ √ √ 自主诊断 3.(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是 B.y＝x2与y＝(x－1)2 C.y＝ 与y＝x √ √ √ 自主诊断 并且 ，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； 对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数； 自主诊断 对于C选项，y＝ ＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； 对于D选项，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数. 自主诊断 4.已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是______________. f(x)＝x2＋6x f(x－1)＝x2＋4x－5， 设x－1＝t，则x＝t＋1， 所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， 故f(x)＝x2＋6x. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(多选)下列说法中正确的有 √ 题型一　函数的概念 C.f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 √ 对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确； (2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(x－1)的定义域为__________. 由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4， 所以函数f(x－1)的定义域为[－1,4]. [－1,4] 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 思维升华 跟踪训练1　(1)下列各组函数表示同一个函数的是 √ 对于A，f(x)＝ 的定义域为R，g(x)＝( )2的定义域为[0，＋∞)， 不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝ 的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数. (2)(2023·承德模拟)若函数f(x)的定义域为[－2,4]，则函数y＝ 的定义域为 A.(1,8] B.[－4,1)∪(1,8] C.(1,2] D.[－1,1)∪(1,2] √ 解得－1≤x≤2且x≠1. 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； 题型二　函数的解析式 (换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，∴f(x)＝x2－2(x≥2). (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). 函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法. 思维升华 跟踪训练2　(1)若 ，则f(x)＝___________________. (2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________. 因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)， 因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立， 2x＋3或－2x－9 所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 题型三　分段函数 例3　(1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝ 则下列关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞，4] C.若f(x)＝2，则x的值是－ D.f(x)<1的解集为(－1,1) √ √ 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－ ，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误. (2)已知函数f(x)＝ 若f(a)＝4，则实数a的值是 _______；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是______________________. －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) 解得a＝－2或a＝5. 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现 f ( f(a))的形式时，应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验. 思维升华 跟踪训练3　(1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 　　　　　　　 　则f(2 023)等于 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)， 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1) ＝f(－2)＝log2[2－(－2)] ＝log24＝2. (2)(多选)已知函数f(x)＝ 则 A.f(f( ))＝3 B.若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C.f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D.若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3 √ √ √ 对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确； 对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确； 对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.函数y＝ 的定义域为 A.[0,2] B.(－∞，－3)∪(－3,2) C.(－∞，2) D.(－∞，－3)∪(－3,2] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得x≤2且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,2]. 2.(2023·昆明统考)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A项，存在x与两个y对应，故排除A； B项，当2<x≤4时，没有与之对应的y，故排除B； C项，y的范围超出了集合B的范围，故排除C； D项，满足函数关系的条件，故D正确. A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D.(－∞，1)∪(1，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(2023·驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于 A.－4 B.－2 C.2 D.4 √ 令2x＋1＝3，得x＝1， 则f(3)＝2－1－3＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦 时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中 国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速 向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合. 6.已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝2，则a等于 A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0，即f(a)＝0时，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1，即f(a)＝1时，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或a＝－1. 二、多项选择题 7.已知函数f(x)＝ 关于函数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞，4) C.f(1)＝3 D.若f(x)＝3，则x的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)＝(－∞，2)，所以A错误； 对于B，当x≤－1时，x＋2≤1，当－1<x<2时，0≤x2<4，所以f(x)的值域为(－∞，1]∪[0,4)＝(－∞，4)，所以B正确； 对于C，因为f(x)＝ 所以f(1)＝12＝1，所以C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，当x≤－1时，由f(x)＝3，得x＋2＝3，解得x＝1(舍去)， 8.下列说法正确的是 A.函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)， 所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A正确； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1， 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x2－2x(x≥1) 于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1). 10.设函数f(x)＝ 若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为_____________ ______________________.(只需写出满足题意的一个数值即可) 若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立； 若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立； 若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0(答案不唯一， 满足a∈(－∞，1)即可) 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)画出这个函数的图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此分段函数的图象如图所示. 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象. (3)求f(x)的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的 创始人之一，以其命名的函数f(x)＝ 称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是 A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R，f(f(x))＝1 D.f(x)为偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 能力拓展 因为函数f(x)＝ 所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A错误，B正确； 因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.已知函数f(x)＝ 的定义域为R，则实数m的取值 范围是_____________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值 范围是__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0， 当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件； 当m＞0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0， 即(m－2)2－4m(m－1)≥0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 A.y＝与y＝ D.y＝与y＝x＋3 对于A选项，y＝的定义域是[－3,3)，  y＝的定义域是[－3,3)， ＝ A.f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B.函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)  D.若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥－1且x≠0，故B正确； 对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误. A.f(x)＝，g(x)＝()2 B.f(x)＝－1，g(x)＝ C.f(x)＝g(t)＝|t| D.f(x)＝x＋1，g(x)＝ 由题意得 (2)已知f ＝x4＋，求f(x)的解析式； (配凑法) f ＝x4＋＝2－2， 又x2＋≥2＝2， 当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立. 设t＝x2＋， ∴解得 f ＝ (x≠0且x≠1) f(x)＝＝(x≠0且x≠1). 所以解得或 函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 若f(a)＝4，则或 若f(a)≥2，则或 对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误； 对于函数y＝，则 3.函数f(x)＝的值域是  f(x)＝＝＝1－， ∵≠0，∴1－≠1， 从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞). 对于A，因为f(x)＝ 当－1<x<2时，由f(x)＝3，得x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)， 综上，x＝，所以D正确. B.f(x)＝和g(x)＝x表示同一个函数 C.函数y＝的值域为 D.定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝＋1 对于C，因为x2＋3≥3，所以0<≤，故函数y＝的值域为，故C正确； 所以由 可得f(x)＝＋1，故D正确. 9.若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝_____________. 令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， 11.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f ，f ，f(－1)的值； ∵＞1，∴f ＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f ＝＋5＝. 12.(2024·曲靖检测)已知函数f(x)＝. (1)求f ＋f(3)，f ＋f(2)的值； 已知函数f(x)＝， ∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，  f ＋f(2)＝＋＝＋＝1. (2)探索f(x)＋f ； 由f(x)＝，得f ＝＝， ∴f(x)＋f ＝1. (3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋  f(2 022)＋f(2 023)的值. 由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝， ∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023) ＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝. 因为函数f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确. 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件； 解得－≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. $