第一章 §1.2 常用逻辑用语（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

第一章 §1.2　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇏p p是q的 条件 p⇏q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 p⇏q且q⇏p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 知识梳理 5 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有”“任意”“每一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示. (2)存在量词：短语“存在某个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示. ∀ ∃ 知识梳理 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M的任一个元素x，有p(x)成立 存在M的某个元素x，使p(x)成立 简记 _________________ _________________ 否定 ∃x∈M，綈p(x) ___________________ ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 知识梳理 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}. (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 3.命题p与p的否定的真假性相反. 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(　　) (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　) √ √ √ × 自主诊断 2.(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是 A.p是真命题 B.綈p：∀x∈R，x＋2>0 C.綈p是真命题 D.綈p：∃x∈R，x＋2>0 √ √ 自主诊断 当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误； 由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误； 綈p是真命题，故C正确. 自主诊断 3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 自主诊断 4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为___________. (－∞，3) 由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)“x2－x＝0”是“x＝1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 题型一　充分、必要条件的判定 x2－x＝0，解得x＝0或x＝1， 则x2－x＝0不能推出x＝1， x＝1可推出x2－x＝0， 故“x2－x＝0”是“x＝1”的必要不充分条件. (2)已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当向量a，b所在的直线平行时，可得向量a，b平行，则充分性成立， 而当向量a，b平行时，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立， 则p是q的充分不必要条件. 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 思维升华 跟踪训练1　(1)在△ABC中，“A为锐角”是“sin A>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 在△ABC中，由“A为锐角”， 易得“sin A>0”， ∴“A为锐角”是“sin A>0”的充分条件； 在△ABC中，由“sin A>0”，不能得出“A为锐角”(如sin A＝1>0，A为直角，实际上，当A∈(0，π)时，sin A>0恒成立)， ∴“A为锐角”不是“sin A>0”的必要条件； 综上所述，“A为锐角”是“sin A>0”的充分不必要条件. (2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件. 例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题. 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}. (1)当a＝2时，求A∩B； 题型二　充分、必要条件的应用 由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}. (2)若________，求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以 解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以 解得－1<a<1，即a∈(－1,1). 27 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 微拓展 典例　已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为___________. (1，＋∞) 由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1. 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 思维升华 跟踪训练2　从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集 合A＝ ，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}. (1)若m＝3，求A∪B； 依题意，得2－2≤2x≤25， 解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0， 得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}， 所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}. (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有AB， 解得m>4或m≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有BA， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或 －2≤2－m<2＋m<5， 解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， 所以正实数m的取值范围是0<m≤3. 命题点1　含量词的命题的否定 题型三　全称量词与存在量词 例3　(1)(多选)下列说法正确的是 A.“正方形是菱形”是全称量词命题 B.∃x∈R，ex<ex＋1 C.命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D.命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” √ √ √ 对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确. (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：____________________ ______. 至少有一个实数是无 理数 命题点2　含量词的命题的真假判断 例4　(多选)下列命题中的真命题是 A.∀x∈R,2x－1>0 B.∀x∈N+，(x－1)2>0 C.∃x∈R，lg x<1 D.∃x∈R，tan x＝2 √ √ √ 指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确； 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N＋，(x－1)2>0是假命题，故B错误； 当x＝1时，lg x＝0<1，所以∃x∈R，lg x<1，故C正确； 函数y＝tan x的值域为R，所以∃x∈R，tan x＝2，故D正确. 命题点3　含量词的命题的应用 例5　(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是 A.(－∞，0] B.(－∞，1] C.(－∞，2] D.(－∞，5] √ 由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知， 不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]， 易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]. (2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是 A.－1 B.0 C.1 D.2 √ 若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题， 则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1， 所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1， 符合条件的为A，B，C选项. √ √ 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假. (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 思维升华 跟踪训练3　(1)下列命题为真命题的是 A.任意两个等腰三角形都相似 B.所有的梯形都是等腰梯形 C.∀x∈R，x＋|x|≥0 D.∃x∈R，x2－x＋1＝0 √ 对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确； (2)若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为 ____________. 命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 返回 课时精练 一、单项选择题 1.命题“∃x>0，sin x－x≤0”的否定为 A.∀x≤0，sin x－x>0 B.∃x>0，sin x－x≤0 C.∀x>0，sin x－x>0 D.∃x≤0，sin x－x>0 √ 由题意知命题“∃x>0，sin x－x≤0”为存在量词命题， 其否定为全称量词命题，即∀x>0，sin x－x>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 2.下列命题中，p是q的充分条件的是 A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于B，a2＋b2≥0⇔ ⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件； 对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件； 对于D，当a>b时，若b<a<0，则不能推出 ，故p不是q的充分 条件. 3.设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线 λx＋(1－λ)y＝2平行， 则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3， 经检验，当λ＝1或λ＝－3时两直线平行. 即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是 A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(－∞，1] √ 由 >1可得x(x－1)<0，解得0<x<1， 记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(－∞，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.下列说法正确的是 A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B.“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C.命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0” D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的 取值范围是[1,3] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 是无理数，x2＝2是有理数，A错误； 当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误； 命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误； “1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则 两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确. 6.设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－2<a<2； 若对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是 A.－4<a<0 B.－4≤a<0 C.－4<a≤0 D.－4≤a≤0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题， 当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意； 当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0. 综上可知，－4<a≤0. 8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： 为等差数列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)， 有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn， 即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 即Sn＝nS1＋n(n－1)D， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D， 所以an＝a1＋2(n－1)D， 当n＝1时，上式成立， 又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多项选择题 9.使 ≥1成立的一个充分不必要条件是 A.0＜x＜1 B.0＜x＜2 C.x＜2 D.0＜x≤2 由 ≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故AB正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 10.下列命题是真命题的是 A.∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B.∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数 C.∃x∈R，2x＜x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题； 三、填空题 11.在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的_______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 充要 在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B， 故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知：命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0，则命题p的否定是__________ ______________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是_______. ∀x∈R， 由题设，命题p的否定是∀x∈R，ax2＋2x＋1>0； p为假命题，即∀x∈R，ax2＋2x＋1>0为真命题， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ax2＋2x＋1>0 a>1 13.已知函数f(x)＝ ，g(x)＝asin x＋2a(a＞0)，若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 能力拓展 ∵x∈[0,2]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵x∈[0,2]，a＞0，∴g(x)∈[2a,3a]， 由题意得[2a,3a]⊆[－1,5]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意知f(x)max≤g(x)max. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增， (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题.(　　) 于是得或 对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝2＋≥>0，故D错误. 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－， 即实数a的取值范围为. > 对于A，ab≠0⇔⇒a≠0，故p是q的充分条件； > 则0<4－3a<1，即1<a<. ∵(－2,2)，∴p是q的必要不充分条件. 设为t，即＝t， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即－＝＝为常数， 即Sn＝na1＋d， 则＝a1＋d＝n＋a1－， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 设数列的公差为D， 则－＝D，＝S1＋(n－1)D， D.∀x∈(0，＋∞)，x＞  y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当sin＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x＝时， ，故D为假命题. 所以可得a>1. ∴f(x)＝＝－4＋∈[－1,5]， ∴∴0＜a≤. 14.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得  f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是___________. ∵f(x)＝x＋在上单调递减， ∴f(x)max＝f ＝. ∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. $