第一章 §1.1 集 合（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

null 第一章 §1.1　集　合 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特性： 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 (或∉，)表示. (3)集合的表示法： 、 、 . (4)常见数集的记法 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ___ N＋ ___ ___ ___ N Z Q R 知识梳理 5 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A的 都是集合B的元素，就说 或者说 ，记作A⊆B(或B⊇A).若A包含于B，则称A是B的一个子集. (2)真子集：如果 但 ，就说A是B的真子集，记作AB. (3)相等：如果 并且 ，就说两个集合相等，记作A＝B. (4)空集： 的集合叫空集，记作 . 每个元素 A包含于B B包含A A⊆B A≠B A⊆B B⊆A 没有元素 ∅ 知识梳理 3.集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 ________________   ______ 交集 ________________   ______ 补集 ________________   _____ {x|x∈A，或x∈B} A∪B {x|x∈A，且x∈B} A∩B {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识梳理 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集. 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B).(　　) √ × × × 自主诊断 2.设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于 A.{x|2<x≤3} B.{x|7<x<10} C.{x|2<x<3或7≤x<10} D.{x|2<x≤3或7<x<10} 因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}. √ 自主诊断 3.已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝______. 2 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意； 当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意.综上，实数a＝2. 自主诊断 4.已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为___________. [2，＋∞) 因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 例1　(1)(2024·潮州模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B等于 A.{0,3} B.{(0,0)，(3,9)} C.{(0,0)} D.{(3,9)} √ 题型一　集合的含义与表示 故A∩B＝{(0,0)，(3,9)}. (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________. 由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的个数为4. (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为 A.1 B.1或0 C.0 D.－1或0 √ ∵－1∈A， ∴当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互异性； 当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时， A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0. 例2　(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则 A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B＝∅ D.A∪B＝R 因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}， 所以A⊆B. √ 题型二　集合间的基本关系 (2)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于 A.2 B.1 C. D.－1 √ 若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意. 综上所述，a＝1. (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知集合M＝{x|y＝ ，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是 A.MN B.NM C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM √ 因为M＝{x|y＝ ，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM. (2)(2024·南平质检)设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为 A.{a|a≥3} B.{a|－1≤a≤3} C.{a|a≥－1} D.{a|a≤－1} √ 由A⊆B可得a≤－1. 命题点1　集合的运算 √ 题型三　集合的基本运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x| <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于 所以M＝{x|0≤x<16}； 因为N＝{x|3x≥1}， (2)(多选)(2023·潍坊模拟)若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝ P，则 A.P⊆M B.M∩P＝M C.N∪P＝P D.M∩(∁PN)＝∅ √ √ 由M∩N＝N，可得N⊆M， 由M∪P＝P，可得M⊆P， 则推不出P⊆M，故A错误； 由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确； 因为N⊆M且M⊆P， 所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确； 由N⊆M，可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误. 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为 √ √ √ 由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； (2)(2023·齐齐哈尔检测)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为 A.(－∞，1] B.(－∞，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) √ 因为A∪B＝R，所以a－1≥1，解得a≥2. 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则 A.(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3} B.(∁RA)∩B＝{x|1<x<2} C.A∩B＝{x|2<x<3} D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集 √ √ √ 由x2－2x>0，得x<0或x>2， 所以A＝{x|x<0或x>2}， 所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1<x<3}， 所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}， B＝{x|1<x<3}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}， 所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确. (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 A.(－∞，1] B.(－∞，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) √ 因为集合A，B满足A＝{x|x>1}， B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅， 则a－1≤1，解得a≤2. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则 A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M √ 由题意知M＝{2,4,5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 知识过关 2.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于 A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2} C.{－2} D.{2} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)， 而M＝{－2，－1,0,1,2}， 所以M∩N＝{－2}. 方法二　因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0，1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立， 所以M∩N＝{－2}. 3.(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 √ A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是 A.(∁UA)∩B B.A∩B C.(∁UA)∩(∁UB) D.A∩(∁UB) √ 由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A， (∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(2023·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于 A.0或4 B.1或4 C.0 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}， ∴m＝4或m＝m2， 当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意； 当m＝m2时，得m＝0或m＝1， 当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意； 当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性. 综上，m可取0,4. 6.已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则 A.M∩N≠∅ B.M⊆N C.N⊆M D.M＝N 因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确； 由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a≥0}，且A∩B＝{1,2}，则a的取值范围为 A.(0,1) B.(0,1] C.(0,3] D.(0,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0,1,2}， 又A∩B＝{1,2}， 解得0<a≤3，则a的取值范围为(0,3]. 8.已知集合A＝{x|x>4}，B＝{x|x<2m}，且∁RB⊆A，则实数m的取值范围是 A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为B＝{x|x<2m}， 所以∁RB＝{x|x≥2m}， 又A＝{x|x>4}，且∁RB⊆A，所以2m>4，得到m>2. 二、多项选择题 9.已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则 A.M∪N＝N B.M∩N＝N C.∁IM⊆∁IN D.(∁IN)∩M＝∅ 因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误； 又I为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 10.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是 A.－1 B.0 C.1 D.2 A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意； 当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1， 综上可得a＝0或±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 三、填空题 11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为______. 4 根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是___________. {m|m≤4} 因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠∅， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综上所述，m≤4. 13.已知集合A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}，若A∪B＝R，且A∩B＝[－2，－1)，则p，q的值分别为 A.－1，－6 B.1，－6 C.3,2 D.－3,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 能力拓展 由|x－1|>2可得x－1>2或x－1<－2， 解得x>3或x<－1， 所以A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A∪B＝R，A∩B＝[－2，－1)， 所以B＝[－2,3]， 所以－2,3是方程x2＋px＋q＝0的两个根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解得p＝－1，q＝－6. 14.(多选)设集合M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}，P＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，则下列说法中正确的是 A.M＝NP B.(M∪N)P C.M∩N＝∅ D.∁PM＝N 因为M＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋1)－2，k∈Z}， N＝{x|x＝6k＋4，k∈Z}＝{x|x＝3(2k＋2)－2，k∈Z}， 当k∈Z时，2k＋1为奇数，2k＋2为偶数，则M≠N，M∪N＝P，M∩N＝∅，∁PM＝N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 返回 由题意得解得或 － 则m＝1或m＝－. 当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.   A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D.   因为M＝{x|<4}， 所以N＝. 所以M∩N＝.  A.－ B. C.0 D.－ 当B≠∅时，B＝， －＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. B＝{x|3x－a≥0}＝， 所以0<≤1， 由B⊆A可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 由根与系数的关系可得 $