第六章 培优点9 新情景、新定义下的数列问题（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第六章 培优点9　新情景、新定义下的数列问题 近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大. 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用. 题型一　数列中的新概念 例1　(1)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i＝1,2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1,2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1,2，…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝　　　　(k ＝1,2，…，m－1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤ (k＝1，2,3,4)的序列是 A.11010…　　　B.11011…　　　C.10001…　　　D.11001… √ 周期为5的0－1序列中， (2)(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为 A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7 √ 若n＝4，则1≤i<j≤4， 由1,2,3,4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)， 若数列{an}的第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若数列{an}的第二个数为4， 则恰有2个逆序对的数列{an}为{1,4,2,3}； 若数列{an}的第三个数为4， 则恰有2个逆序对的数列{an}为{1,3,4,2}或{2,1,4,3}； 若数列{an}的第四个数为4， 则恰有2个逆序对的数列{an}为{2,3,1,4}或{3,1,2,4}， 综上，恰有2个逆序对的数列{an}的个数为5. 与数列的新概念有关的问题的求解策略 ①通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 思维升华 跟踪训练1　(多选)(2023·江西联考)在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组A＝{a1，a2，a3，…，an}，ai∈{0,1}，i＝1,2,3，…，n，f(A)表示把A中每个1都变为0,0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如A＝{0,1}，则f(A)＝{1,0,0}.定义Ak＋1＝f(Ak)，k＝1,2,3，…，n，若A1＝{0,1}，则 A.A100中有249个1 B.A101中有249个0 C.A1，A2，A3，…，A100中0的总个数比1的总个数多250－1 D.A1，A2，A3，…，A100中1的总个数为251－1 √ √ 因为A1＝{0,1}，所以A2＝{1,0,0}，A3＝{0,0,1,1}，A4＝{1,1,0,0,0,0}，A5＝{0,0,0,0,1,1,1,1}，A6＝{1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}， 显然，A1，A3，A5中分别有2,4,8项，其中1和0的项数相同，A2，A4，A6中分别有3,6,12项， 设An中共有an项，其中有bn项1，cn项0， 则an＝ bn＝ cn＝ 所以A100中有249个1，A正确； A101中有250个0，B错误； cn－bn＝ 则A1，A2，A3，…，A100中0的总个数比1的 总个数多0＋20＋0＋21＋0＋…＋249＝ ＝250－1，C正确； 例2　(1)(多选)(2023·苏州模拟)若数列{an}满足：对任意的n∈N＋(n≥3)，总存在i，j∈N＋，使an＝ai＋aj(i≠j，i<n，j<n)，则称{an}是“F数列”.则下列数列是“F数列”的有 题型二　以数列和项与通项关系定义新数列 √ √ 对于A，由ai＋aj＝2(i＋j)，要使an＝ai＋aj＝2n(i≠j，i<n，j<n)且i，j∈N＋， 所以只需n＝i＋j≥3，显然对任意的n∈N＋(n≥3)，总存在i，j∈N＋，使得an＝ai＋aj，满足“F数列”； 对于B，由a1＝12，a2＝22，a3＝32，显然a3≠a1＋a2，不满足“F数列”； 对于C，对于任意3n，n∈N＋，个位数为3,9,7,1均为奇数，所以3i＋3j必为偶数，显然3i＋3j＝3n不成立，不满足“F数列”； 对于D，由n∈N＋(n≥3)， 故对任意的n∈N＋(n≥3)，总存在an＝ai＋aj，满足“F数列”. (2)(多选)(2023·威海模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.设λ与k 是常数，若对任意n∈N＋，均有 成立，则称此数列为“λ －k”数列.若数列{an}是“ －2”数列，且an>0，则 √ √ 这与an>0矛盾，所以不成立， S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为9的等比数列，即Sn＝9n－1，故A正确； 由Sn＋1＝9Sn可得Sn＝9Sn－1(n≥2)，两式相减得， an＋1＝9an(n≥2)，并且n＝1时，S2＝9S1，即a1＋a2＝9a1，得a2＝8， 当n＝1时，S1－a1＝0， 当n≥2时，设数列{Sn－an}的前n项和为Tn， 则Tn＝(S1－a1)＋(S2－a2)＋…＋(Sn－an) ＝(S1＋S2＋…＋Sn)－(a1＋a2＋…＋an) 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解. 思维升华 跟踪训练2　(多选)(2023·北京人大附中模拟)已知数列{an}满足：对任意的n∈N＋，总存在m∈N＋，使得Sn＝am，则称{an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是 A.若an＝2 023n，则{an}为“回旋数列” B.设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则{an}为“回旋数列” C.设{an}为等差数列，当a1＝1，公差d<0时，若{an}为“回旋数列”， 则d＝－1 D.若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N＋，总存在m∈N＋，使得an＝Sm √ √ 对于B，当q＝1时，Sn＝na1，am＝a1， 由Sn＝am可得na1＝a1，故当n＝2时，很明显na1＝a1不成立，故{an}不是“回旋数列”，故B错误； 对于C，{an}是等差数列，故am＝1＋(m－1)d， 因为数列{an}是“回旋数列”， 故d为所有非负整数的公约数，且d<0，所以d＝－1，故C正确； 对于D，由A可知，当an＝2 023n时，{an}为“回旋数列”， 例3　(1)九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下(或安上)第n号环，则第(n－1)号环必须解下(或安上)，n－1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为 A.42 B.85 C.256 D.341 题型三　数列新情景 √ 由题意可得，a3＝a2＋2a1＋1＝2＋2＋1＝5， a4＝a3＋2a2＋1＝5＋4＋1＝10， a5＝a4＋2a3＋1＝10＋10＋1＝21， a6＝a5＋2a4＋1＝21＋20＋1＝42. (2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____；如果对折n次，那么 ＝_____________ dm2. 5 依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180； …… ① ② 由①－②得， 对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系(数量化的特征)等，建立数学模型求解. 思维升华 跟踪训练3　几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2, 4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>55且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.95　　　B.105　　　C.115　　　D.125 √ 将数列排成行的形式 1 1,2 1,2,4 1,2,4,8 第n行为20,21，…，2n－1， 前N项和为TN＝Sn＋am＝2n＋1－2－n＋2m－1， 若TN为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1， ∵N>55，∴n>10，且n为奇数， 当n＝11时，m无整数解， 1.(2023·河北统考)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5，新数列2,3,4,5为等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{an}，其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17，则该数列的第20项为 A.173　　　B.171　　　C.155　　　D.151 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.(2023·佳木斯模拟)科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f(x)，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－ ，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f(x)＝x2，数列{xn}为牛 顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8的值是 A.8　　　B.2　　　C.－6　　　D.－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 根据题意， 又x1＝2， 所以an＝log2xn＝log222－n＝2－n，所以a8＝2－8＝－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足 ，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”.已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为 A.25　　　B.50　　　C.51　　　D.100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 消去x2，并整理得，(2x1＋x3)(x1－x3)＝0， 在集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以x1必为2的倍数，且x1∈[－50,50]，x1≠0，故这样的数列共50个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(2023·盐城模拟)将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n＝k1·k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)＝|k1－k2|，则数列{f(5n)}的前2 023项的和为 A.51 012 B.51 012－1 C.52 023 D.52 023－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当n＝2k(k∈N＋)时， 由于52k＝5k×5k，此时f(52k)＝|5k－5k|＝0， 当n＝2k－1(k∈N＋)时，由于52k－1＝5k－1×5k， 此时f(52k－1)＝|5k－5k－1|＝5k－5k－1， 所以数列{f(5n)}的前2 023项的和为(5－1)＋0＋(52－5)＋0＋(53－52)＋0＋…＋(51 011－51 010)＋0＋(51 012－51 011)＝51 012－1. 5.(2023·郑州模拟)普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生.以1为首项的“外观数列”记作A1，其中A1为1,11,21,1211,111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2,1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得A1其他项，例如A3为3,13,1113,3113,132113，…，若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中i，j∈[2,9]，若cn＝|an－bn|，则{cn}的前n项和为 A.2n|i－j|　　　B.n(i＋j)　　　C.n|i－j|　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题得，a1＝i，a2＝1i，a3＝111i，a4＝311i，…，an＝…i， b1＝j，b2＝1j，b3＝111j，b4＝311j，…，bn＝…j， 由递推可知，随着n的增大，an和bn每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同， 所以cn＝|an－bn|＝|i－j|， 所以{cn}的前n项和为n|i－j|. 6.(多选)在数列{an}中，若 ＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为 A.若{an}是等方差数列，则 是等差数列 B.若{an}是等方差数列，则 是等方差数列 C.{(－1)n}是等方差数列 D.若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 对于D中，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…， 数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…， 所以数列{akn}是等方差数列，故D正确. 7.(多选)(2023·浙江联考)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图1→4→2→1.对任意正整数a0，按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N)，下列说法正确的是 A.当a0＝7时，则a11＝5 B.当a0＝16时，数列{an}为递减数列 C.若a5＝1，且ai(i＝1,2,3,4)均不为1，则a0＝5 D.当a0＝10时，从ai(i＝1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若a0＝7，则a1＝22，a2＝11，a3＝34，a4＝17，a5＝52，a6＝26，a7＝13，a8＝40，a9＝20，a10＝10，a11＝5，故A选项符合题意； 若a0＝16，则a1＝8，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，易知{an}不是递减数列，故B选项不符合题意； 若a5＝1，则a4＝2，a3＝4，当a2＝8时，则a1＝16，a0＝5或32，a2＝1(舍去)，故C选项不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e36 故数列{bn}是以1为首项，e为公比的等比数列， 故a10＝e36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2023·潍坊模拟)若项数为n的数列{an}满足：ai＝an＋1－i(i＝1,2,3，…，n)，我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”.设数列{cn}为2k＋1项的“对称数列”，其中c1，c2，…，ck＋1是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8，记数列{cn}的前2k＋1项和为S2k＋1，若S2k＋1＝32，则k＝_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意，ck＋1＝8， 又c1，c2，…，ck＋1是公差为2的等差数列， 故c1＋2k＝8，则c1＝8－2k，ck＝ck＋1－2＝6. 又S2k＋1＝32，故2(c1＋c2＋…＋ck)＋ck＋1＝32， 即c1＋c2＋…＋ck＝12， 化简得k2－7k＋12＝0，解得k＝3或k＝4. 10.(2023·沈阳模拟)已知数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak中的最大值(k＝1,2，…，n)，则称数列{bn}为{an}的“控制数列”，{bn}中不同数的个数称为“控制数列”{bn}的“阶数”.例如：{an}为1,3,5,4,2，则“控制数列”{bn}为1,3,5,5,5，其“阶数”为3，若{an}由1,2,3,4,5任意顺序构成，则使“控制数列”{bn}的“阶数”为2的所有{an}的个数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 当{bn}由1,5构成时，则a1＝1，a2＝5，a3，a4，a5为2,3,4的一个排列， 当{bn}由2,5构成时，则a1＝2，a2＝5，a3，a4，a5为1,3,4的一个排列， 或a1＝2，a2＝1，a3＝5，a4，a5为3,4的一个排列， 当{bn}由3,5构成时，则a1＝3，a2，a3，a4，a5为1,2,4,5的一个排列，且数字4排在5的后面， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当{bn}由4,5构成时，则a1＝4，a2，a3，a4，a5为1,2,3,5的一个排列， 由分类加法计数原理可得满足条件的数列{an}共有50个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 iai＋k C(k)＝iai＋k(k＝1,2,3,4). 验证C(1)＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6) ＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a1)≤. 对于A，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋0)＝，满足C(1)≤. 对于B，C(1)＝(1＋0＋0＋1＋1)＝>，不满足C(1)≤，故排除B. 对于C，C(1)＝(0＋0＋0＋0＋1)＝，满足C(1)≤. 对于D，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋1)＝>，不满足C(1)≤，故排除D. 再对A，C验证C(2)＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5a2)≤. 对于A，C(2)＝(0＋1＋0＋1＋0)＝>，不满足C(2)≤，故排除A. 对于C，C(2)＝(0＋0＋0＋0＋0)＝0，满足C(2)≤. 其中有的项为1，的项为0，  A1，A2，A3，…，A100中1的总个数为＋＝251－2，D错误. A.an＝2n B.an＝n2 C.an＝3n D.an＝n－1 an－1＋an－2＝n－2＋n－3＝n－2· ＝n－2·＝n－1＝an，   A.Sn＝9n－1 B.{an}为等比数列 C.{Sn－an}的前n项和为 D.为等差数列 得＝或＝3， 若＝，则Sn＋1＝Sn，则an＋1＝0， 由条件可知，λ＝，k＝2， 则－＝＝， 两边平方后，整理为Sn＋1－4＋3Sn＝0， 即(－)(－3)＝0， 所以＝3，则Sn＋1＝9Sn， 那么＝8≠9，所以{an}不是等比数列，故B错误； an＝ ＝－＝， 当n＝1时，T1＝0成立，故Tn＝，故C正确； 因为＝1，＝，＝，＋≠2， 所以数列不是等差数列，故D错误. 对于A，由an＝2 023n可得Sn＝2 023(1＋2＋3＋…＋n)＝2 023×， 由Sn＝am可得2 023×＝2 023m， 取m＝即可，则{an}为“回旋数列”，故A正确； Sn＝n＋d， 所以1＋(m－1)d＝n＋d， 即m＝＋＋1， 其中为非负整数， 所以要保证恒为整数， 取a2＝2 023×2，Sm＝2 023×，显然不存在m，使得Sm＝a2＝2 023×2，故D错误. k 240 当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，20×＝30，所以S3＝30×4＝120； 当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm× dm，20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝15，所以S4＝15×5＝75； 所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝. 所以k＝240， 所以×k ＝240， ×k＝240 ＝240＝240， 所以k＝240dm2. 第n行和为an＝＝2n－1， 前n行共有个数， 前项和为Sn＝－n＝2n＋1－2－n， 假设从第1行第1个数到第n＋1行第m(1≤m≤n＋1)个数共有N个数，则N＝＋m， 当n＝13时，m＝4，此时N＝＋4＝95. 根据题意得新数列为0,1,2,3,4，…，则二阶等差数列{an}的通项公式为an＝＋2，则a20＝＋2＝173.    xn＋1＝xn－＝xn－＝xn－＝， 所以＝， 所以{xn}为首项是2，公比是的等比数列， 所以xn＝2×n－1＝n－2＝22－n，  ＋＝ 由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，知 所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1，于是有x2＝－x1. |i－j| a－a {a} {a} 对于A中，数列{an}是等方差数列，可得a－a＝p(n≥2，n∈N＋，  p为常数)， 即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确； 对于B中，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，故B不正确； 对于C中，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0，(n≥2，n∈N＋)， 所以(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，所以a－a＝kp， 因为a－a＝a－a＝…＝a－a＝p， 为 若a0＝10，则a1＝5，a2＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，所以从ai(i＝1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为1－＝，故D选项符合题意. 8.(2023·宝鸡模拟)对给定的数列{an}(an≠0)，记bn＝，则称数列{bn}为数列{an}的一阶商数列；记cn＝，则称数列{cn}为数列{an}的二阶商数列；依此类推，可得数列{an}的P阶商数列(P∈N＋)，已知数列{an}的二阶商数列的各项均为e，且a1＝1，a2＝1，则a10＝_______. 由数列{an}的二阶商数列的各项均为e，可知cn＝＝e，而b1＝＝1， 即bn＝en－1，即＝en－1，n∈N＋， 即＝1，＝e，＝e2，…，＝e8. 所以a10＝a1····…·＝1×1×e×e2×…×e8＝e1＋2＋…＋8＝ ＝e36， 由等差数列前n项和公式有＝12， 故满足条件的数列{an}有A＝6(个)； 故满足条件的数列{an}有A＋A＝8(个)； 故满足条件的数列{an}有＝12(个)； 故满足条件的数列{an}有A＝24(个). $