第六章 §6.4 数列中的构造问题（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

第六章 §6.4　数列中的构造问题 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式. 重点解读 命题点1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a) 例1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝___________. 题型一　an＋1＝pan＋f(n)型 2·3n－1－1 ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 命题点2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) 例2　若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N＋，求数列{an}的通项公式. 设an＋1＋λ(n＋1)＋u＝2(an＋λn＋u)， 所以an＋1＝2an＋λn＋u－λ， 又a1－3－3＝－5≠0， 所以数列{an－3n－3}是以－5为首项，2为公比的等比数列， 所以an－3n－3＝－5·2n－1， 所以an＝－5·2n－1＋3n＋3. 命题点3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) 例3　已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为 A.an＝(2n＋1)·3n B.an＝(n－1)·2n C.an＝(2n－1)·3n D.an＝(n＋1)·2n √ 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 思维升华 跟踪训练1　(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有 A.若a1＝2,2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝n·2n B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3(n≥2，且n∈N＋)，则数列{an} 的通项公式为an＝2n＋1－3 D.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为 an＝2n－n＋1 √ √ ∵2(n＋1)an－nan＋1＝0， 由an＝2an－1＋3(n≥2)，得an＋3＝2(an－1＋3)， 又a1＋3＝1＋3＝4，于是数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋3＝4×2n－1，即an＝2n＋1－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故B正确； 设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)， 所以an＋1＝2an＋kn＋b－k， 由an＋1＝2an＋n－1， 即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列. ∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误. 例4　已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2). (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； 题型二　相邻两项的差为特殊数列(an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b) ∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)， ∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2). ∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15， ∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n， 则an＋1＝－2an＋5×3n， ∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n). 又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0， ∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列. ∴an－3n＝2×(－2)n－1， 即an＝－(－2)n＋3n. 可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}. 思维升华 因为3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，an≠0， 题型三　倒数为特殊数列 思维升华 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝ ，则an等于 A.2n－1　　　　B.3n－1　　　　C.　　　　D. √ log3an＋1＝2log3an， 则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列， 则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝　 . 3.已知数列{an}中，a1＝1，2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则数列{an}的通项公式为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，显然an≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 因为an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，所以an＋1－(n＋1)＝－(an－n)(n≥2). 因为a2－2＝－1，所以{an－n}从第二项起是公比为－1的等比数列， 所以an＝n＋(－1)n－1(n≥2)， 所以S2 023＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012， S2 024＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、多项选择题 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N＋)，则下列说法正确的有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2， 则a2＝3S1＋2＝3a1＋2， 因为an＋1＝3Sn＋2， ① 所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2， ② ①－②得，an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an， 故数列{an}不是等比数列，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当n≥2时，an＋1＝4an， 则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48， 由an＋1＝3Sn＋2， 得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2， 所以Sn＋1＝4Sn＋2， 令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则Sn＋1＝4Sn＋3λ， 公比为4的等比数列，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N＋)，则下列结论正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为an－3an＋1＝2anan＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以{an}为递减数列，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题 7.已知首项为1的数列{an}满足an＋1＝5an－3，则an＝____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.(2023·阜阳统考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S10＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 046 方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n). 又a1－21＝－1， 所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n， 即an＝2n＋(－1)n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　∵an＋1＋an＝3×2n， ∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29， 四、解答题 9.已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋). (1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列； 由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋)， 得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7， ∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1， ∴{an－n}是首项为1，公比为2的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)求{an}的通项公式. 由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1， ∴an＝2n－1＋n. (1)求a4的值； 当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， ∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)， ∴4an＋2＋an＝4an＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 所以解得λ＝u＝－3， 所以＝2， 由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋2， ∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. 两边同除以qn＋1，构造新的数列 C.若a1＝2，an＝an－1＋n(n≥2)，则数列是等比数列 ∴＝， ∴是首项为＝2，公比为2的等比数列， ∴＝2·2n－1，∴an＝n·2n，故A正确； 即＝2， 根据题意，an＝an－1＋n⇔－＝1，n≥2， 又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误； 得解得 ∴＝2， ∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)， 跟踪训练2　已知数列{an}满足3anan＋2－anan＋1＝2an＋1an＋2，且a1＝3a2＝1.证明数列为等比数列，并求数列{an}的通项公式. 等式两边同除以anan＋1an＋2，得＝－， 则－＝2， 所以数列是以－＝2为首项，2为公比的等比数列， 则－＝2×2n－1＝2n， 所以＝＋＋…＋＋＝2n＋2n－1＋…＋21＋1＝2n＋1－1， 则an＋1＝， 当n≥2时，an＝， 又当n＝1时，上式也成立，故an＝. 例5　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式. 因为an＋1＝(n∈N＋)， 所以＝＋1， 设＋t＝3， 所以3t－t＝1，解得t＝， 所以＋＝3，又＋＝1＋＝， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以＋＝×3n－1＝， 所以an＝. 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an. 跟踪训练3　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，则数列{bn}的通项公式bn＝________. bn＋1＝的两边同时取倒数， 得＝，即＝＋3， 因此＋3＝2， 又＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝. 一、单项选择题 1.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则a1 000等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. 得＝＋1，则－＝1， 故数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则＝n＋1，an＝，故a1 000＝. an＋1＝两边同时取倒数， a 由a1＝3，an＋1＝a知an>0， 对an＋1＝a两边取以3为底的对数得， A.an＝ B.an＝ C.an＝ D.an＝ 所以an＝. 两边同时除以an＋1an，得－＝2， 又＝1， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1， 4.(2024·商洛模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，则等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. 所以an＝ 所以＝. A.a1＝ B.S4＝ C.{an}是等比数列 D.是等比数列 所以a1＝，故A正确； 当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1， 故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确； 所以3λ＝2，即λ＝， 所以Sn＋1＋＝4，即＝4， 故是首项为S1＋＝a1＋＝1， A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 所以＋1＝3， 又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确； ＋1＝2×3n－1，即an＝，故B正确； 的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1，故D错误. 所以an－＝×5n－1，即an＝＋×5n－1. ＋×5n－1 由an＋1＝5an－3，得an＋1－＝5， 因为a1＝1，所以a1－＝，进而an－≠0， 所以数列是首项为，公比为5的等比数列， 所以S10＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2＝2 046. 则S10＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046. ∴＝2(n≥2，n∈N＋)， 10.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时， 4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. 即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝. (2)证明：数列为等比数列； ∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，符合上式， ∵＝＝＝＝， ∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列. 由(2)知，是以1为首项，为公比的等比数列， ∴an＋1－an＝n－1.即－＝4， ∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列， ∴＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 即 an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1， ∴数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1. $