第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教A提高版）

第二章 必刷小题2　函数的概念与性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ B＝{x|x2－x－12≤0}＝{x|－3≤x≤4}， 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2023·漳州统考)若函数f(x)＝2x＋a·2－x是奇函数，则a等于 √ f(x)的定义域是R， 由题意得f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1， 故f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)， 即f(x)是奇函数. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x－1≠0，得t≠0， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·商洛统考)下列函数中，其图象与函数y＝2x的图象关于直线x＝1对称的是 A.y＝21－x B.y＝22－x C.y＝21＋x D.y＝22＋x 设(x，y)为所求函数图象上任意一点，则其关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在函数y＝2x的图象上，所以y＝22－x. √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2023·咸阳模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由x＋1≠0，得x≠－1，则f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)＝ 为非奇非偶函数，故A不符合题意； 对于B，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，可知f(x)为偶函数，故B不符合题意； 对于D，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在定义域内是增函数，故D符合题意. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)为R上的偶函数， 因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·成都模拟)已知定义域是R的函数f(x)满足∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2 023)等于 A.1 B.－1 C.2 D.－3 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(1＋x)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2－x)＝f(x)， 又因为f(4＋x)＋f(－x)＝0， 所以f(2＋x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 故f(x)的一个周期为4，所以f(2 023)＝f(3)＝－f(1)＝－1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]. 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数. 所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增. 又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－3)， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 9.(2024·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则 A.f(x)的图象关于直线x＝1对称 B.f(x)在[0,1]上单调递增 C.f(x)在[1,2]上单调递减 D.f(2)＝f(0) √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x＋1)＝－f(x)，f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确； 由偶函数在对称区间上的单调性相反， 得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误； 由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(2)＝f(0)，故D正确. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.f(x)有且仅有一个零点 B.f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减 C.f(x)的定义域为{x|x≠1} D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确； 所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，故B正确； 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2023·福建联考)已知f(x)是定义域为R的奇函数，若f(2x＋1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是 √ √ √ 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(2x＋1)的最小正周期为2， 则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)， 即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)， 所以f(x)的最小正周期为4，故A错误； 因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0. 又4是f(x)的一个周期， 所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确； 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确； 又f(x)是定义域为R的奇函数， 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 由已知得f(10)＝f(10－6)＝f(4)＝24－42＝16－16＝0. 0 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为R；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是_________________ __________________. f(x)＝－x2(或f(x)＝ －|x|，答案不唯一) 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为R，图象开口向下，对称轴为y轴，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 根据一次函数和分段函数的性质，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件，所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________. 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得ln x∈[0,2]， 当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减， f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增， ∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意. 故a的值为1. 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2024·合肥模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋f(－x－2)＝－2， f(0)＝1，则 ＝________. －2 025 2 因为f(x)为偶函数，故f(x)＝f(－x). 因为f(x)＋f(－x－2)＝－2， 所以f(x)＋f(x＋2)＝－2， 从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2， 得f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)的一个周期为4. 由f(x)＋f(－x－2)＝－2， 令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1； 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1； 令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2， 得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1. 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4， 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1.(2023·绵阳统考)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x2－x－12≤0}，则A∩B等于 A.{x|－3≤x≤－} B.{x|－≤x≤} C.{x|≤x≤4} D.{x|－3≤x≤4} 因为A＝{x|y＝}＝{x|－≤x≤}， 所以A∩B＝{x|－≤x≤}. A.－ B. C.－1 D.1 3.已知f ＝x＋1，则f(x)的解析式为 A.f(x)＝(x≠－2) B.f(x)＝(x≠0) C.f(x)＝＋2(x≠0) D.f(x)＝－1(x≠0) 令＝t，即x＝＋1， 则f(t)＝＋1＋1＝＋2， 故f(x)的解析式为f(x)＝＋2(x≠0). A.f(x)＝ B.f(x)＝xsin x C.f(x)＝x－ D.f(x)＝ex－e－x 对于C，f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝－x－＝－＝ －f(x)，可知f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，但在定义域内不是单调函数，故C不符合题意；   6.已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－  x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f ，c＝f(log310)，则a，b，c的大小关系为 A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 所以b＝f ＝f(－log23)＝f(log23)， 因为2>log23>log2＝>， log310>log39＝2，所以<log23<log310， 所以f()>f(log23)>f(log310)，即c<b<a. 8.(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x1，x2∈ [0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为 A. B. C. D. 因为对任意的x1，x2∈[0,3]，当x1<x2时，x1f(x1)－x2f(x2)>x－x恒成立，即x1f(x1)－x>x2f(x2)－x恒成立，即g(x1)>g(x2)， 所以即 解得<a≤3， 故满足不等式的a的取值范围为. A.f(x)＝ex－e－x B.f(x)＝－1 C.f(x)＝ln(x＋) D.f(x)＝ln(sin x) 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R， 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R， 11.(2023·泰安模拟)关于函数f(x)＝，下列说法正确的是 令f(x)＝0，即＝0，解得x＝－， 函数f(x)＝＝3＋(x≠1)， 因为y＝在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减， 因为函数y＝的图象关于点(1,0)对称， 所以函数f(x)＝3＋的图象关于点(1,3)对称，故D错误. A.2是f(x)的一个周期 B.f(4)＝0 C.f(3)＝f(－5) D.f ＋f ＝0  f ＋f ＝f ＋f ＝f ＋f ， 所以f ＝－f ， 所以f ＋f ＝0，故D正确. 13.设函数f(x)＝则f(10)＝________. 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为R， ∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝<2，不符合题意； 当0<a<2时，f(x)＝ (i) 故(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2 025. $