第四章 §4.4 三角函数的叠加与二倍角的三角函数公式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第四章 §4.4　三角函数的叠加与二倍角的三角函数公式 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T2α：tan 2α＝ . 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 知识梳理 5 2.半角公式(不要求记忆) 知识梳理 6 1.二倍角公式的变形公式 2.半角正切公式的有理化 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　) (2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).(　　) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.(　　) × × √ √ 自主诊断 2.cos 15°等于 √ 因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0， 自主诊断 3.若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于 √ 由题意知，tan α＝－2， 自主诊断 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　三角函数式的化简 A.－sin 20° B.－cos 20° C.cos 20° D.sin 20° √ ＝cos 20°－sin 20°＋sin 20° ＝cos 20°. (2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝ . cos 20°cos 40°cos 80° 积化和差、和差化积公式 在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算. 微拓展 典例　化简下列各式. (1)sin 54°－sin 18°＝ ； 由和差化积公式可得，sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18° (2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝ . 由和差化积和积化和差公式可得， cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 思维升华 √ 可得3cos2θ－4cos θ－4＝0， －cos θ 原式＝ 所以原式＝－cos θ. 题型二　三角函数式的求值 命题点1　给角求值 √ 命题点2　给值求值 √ 命题点3　给值求角 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0， 又β为锐角， (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. 思维升华 (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则： 思维升华 50° 所以sin α＝sin 50°， 又因为α为锐角，所以α＝50°. 题型三　三角恒等变换的综合应用 √ ∴sin α≠0， ∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β， ∴2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β， 即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β. ∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 思维升华 A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c √ 所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcos θ. 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α为锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2023·邢台模拟)1＋tan 22.5°等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得2tan 22.5°＝1－tan222.5°， 所以(tan 22.5°＋1)2＝2， 又tan 22.5°>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·连云港模拟)已知2cos(2α＋β)－3cos β＝0，则tan αtan(α＋β)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2cos(2α＋β)＝3cos β， 则2cos(α＋β＋α)＝3cos(α＋β－α)， 则2cos(α＋β)cos α－2sin(α＋β)sin α ＝3cos(α＋β)cos α＋3sin(α＋β)sin α， 即－5sin(α＋β)sin α＝cos(α＋β)cos α， 所以－5tan(α＋β)tan α＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝cos 2α＋2cos2α－sin2α ＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α ＝3cos2α－2sin2α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.下列计算结果正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝2， 化简得2sin αcos α＝1， 即sin 2α＝1，由2sin αcos α＝1， 整理得tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两角差的正弦公式，可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 13.化简并求值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的最小正周期； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)＝a·b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2023·临沂模拟)已知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·商洛模拟)已知tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)，则sin(α－15°)cos(α＋15°)等于 √ 由tan(α＋15°)＝7tan(α－15°) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ⇒sin(α＋15°)cos(α－15°)＝7sin(α－15°)cos(α＋15°)， 设A＝sin(α＋15°)cos(α－15°)， B＝cos(α＋15°)sin(α－15°)， 则A＝7B， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 sin ＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定. (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) tan ＝＝. (4)sin2－cos2＝.(　　) A. B. C.± D.± 由半角的余弦公式可知cos 15°＝. A.－ B. C.－ D. 所以tan 2α＝＝. 所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝. 4.若cos＝－，则cos 2θ的值为 . 因为cos＝－，所以sin θ＝， 例1　(1)＋的化简结果为 原式＝＋＝|sin 20°－cos 20°|＋ ＝＝. ＝ ＝＝ ＝2×＝ ＝＝＝. － ＝2cos 120°cos 26°＋2×(cos 120°＋cos 26°) ＝2×cos 26°＋＋cos 26°＝－. 跟踪训练1　(1)(2023·成都联考)已知θ∈，cos2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于 A.－ B.－ C.－ D.－ 所以sin θ＝，则tan θ＝＝－. 因为cos2＝1＋cos 2θ，将cos2＝，cos 2θ＝2cos2θ－1代入化简， 解得cos θ＝2(舍去)或cos θ＝－， 又因为θ∈， (2)(2024·西安模拟)已知0<θ<π，则＝ . ＝cos · ＝. 因为0<θ<π，所以0<<， 所以cos >0. 例2　(2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t＝，则等于 A. B. C. D. 依题意，得t＝＝＝2cos 72°， 则＝＝＝ ＝＝. 例3　(2023·济宁模拟)已知cos＝，则sin等于 A.－ B. C.－ D. sin＝sin ＝－cos 2 ＝1－2cos2＝1－2×＝. 例4　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝， ＝×－×＝. 所以0<2α<， 所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝， 所以2α－β＝. ①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； ②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好. 跟踪训练2　(1)已知cos＝－，则sin＝ . ∴sin＝sin ＝cos＝. ∵cos＝－， ∴cos＝2cos2－1 ＝2×2－1＝， (2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋＝，则α＝ . 因为1＋＝ ＝＝ ＝＝＝＝， 例5　(2023·广州模拟)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos  β，则下列结论正确的是 A.2α＋β＝ B.2α－β＝ C.α＋β＝ D.α－β＝ ∵α，β∈， ∴α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝. ∴cos(α＋β)＝cos， ∵α，β∈， ∴π<α＋β<2π，且－<－α<0， (2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 跟踪训练3　(2024·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－ cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的大小关系是 又<θ<，则sin θ∈， 且tan θ>1>sin θ>>cos θ>， a＝＝＝sin θcos θ， b＝(1－cos 2θ)＝sin2θ， c＝－cos θ＝＝sin θtan θ， 1.(2023·新高考全国Ⅱ)已知α为锐角，cos α＝，则sin 等于 A. B. C. D. 所以sin ＝＝ ＝＝. A. B. C. D. 由tan 45°＝＝1， 所以1＋tan 22.5°＝. 3.(2023·湖南师范大学附属中学模拟)已知＝2，则tan θ等于 A. B.－ C.－ D. 由＝＝＝tan ＝2， 得tan θ＝＝＝－. A.5 B. C.－5 D.－ 所以tan αtan(α＋β)＝－. 5.(2023·茂名模拟)已知tan α＝，则－sin2α等于 A.－ B.－ C. D. 因为tan α＝， 所以－sin2α＝－sin2α ＝－sin2α ＝＝＝＝－. 6.(2024·平顶山模拟)若sin＝－，<α<，则sin 2α＋sin2α等于 A. B. C. D. 由<α<，知<α＋<2π， 因为sin＝－， 所以cos＝＝， 所以sin α＝sin＝sin－cos＝×＝－， 而sin 2α＝－cos＝－cos 2＝－＝ －＝－， 所以sin 2α＋sin2α＝－＋2＝. A.cos(－15°)＝ B.sin 15°sin 30°sin 75°＝ C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－ D.2sin 18°cos 36°＝ ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所以A错误； 对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B正确； 对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，所以C错误； 对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D正确. 8.已知f(x)＝sin xsin－，则f(x)的值不可能是 A.－ B. C.－2 D.2 因为f(x)＝sin xsin－ ＝sin x－ ＝sin2x＋sin xcos x－ ＝×＋sin 2x－ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin， 所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2和2. 9.已知0<β<α<，若α－β＝，cos(2α＋2β)＝－，则cos α＝ . ∵cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝－， 0<β<α<，∴0<α＋β<， ∴sin(α＋β)＝，∴α＋β＝， 又α－β＝，∴α＝，∴cos α＝. 10.(2024·温州模拟)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝ ，tan α＝ . 由cos 2α＝2cos， 得cos2α－sin2α＝2， 即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝， 当sin α＝cos α时，α＝，sin α＋cos α＝； 当sin α≠cos α时，sin α＋cos α＝. 对sin α＋cos α＝两边平方， 得＝1，即＝1， 11.(2023·淄博模拟)喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受.如图所示，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离D＝sin 2α，能够达到的最高高度H＝(1－cos 2α)(其中g为重力加速度).若tan α＝，则H与  D的比值为 .  ＝＝＝＝＝tan α＝. 12.已知cos＝，θ∈，则sin＝ . 由题意得cos2＝＝＝， 即sin 2θ＝. 因为cos＝>0，θ∈， 所以0<θ<，0<2θ<， 所以cos 2θ＝， sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝. (1)2cos 50°－； 原式＝2cos 50°－ ＝＝ ＝＝＝. (2)·. 原式＝ ＝ ＝ ＝＝32. 14.(2023·镇江模拟)已知a＝，b＝，记f(x)＝a·b，x∈R. ＝2cos2x－2sincos ＝1＋cos 2x－sin ＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x ＝－sin 2x－cos 2x＋1＝－sin＋1， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)若f ＝，x0∈，求cos 2x0. 因为f ＝－sin＋1＝， 可得sin＝， 又因为x0∈， 则x0＋∈， 则cos＝－＝－， 则sin 2＝2sincos＝－， cos 2＝cos2－sin2＝， 可得cos 2x0＝cos ＝cos 2cos ＋sin 2sin ＝×＋×＝，所以cos 2x0＝. A.满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝ B.α－β＝π C.α＋β＝π D.满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝  f(x)＝＋＋ ＝－[cos 2x(1＋cos 2α＋cos 2β)－sin 2x(sin 2α＋sin 2β)]， 由题意得 两式平方相加可得cos(2α－2β)＝－， 所以2α－2β＝＋2kπ或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z. 当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D正确，A，B，C错误. A. B. C. D. ⇒＝7· 又A－B＝sin 30°＝， ② 联立①②，解得A＝，B＝， 故sin(α－15°)cos(α＋15°)＝. $