第四章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第四章 §4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式Cα－β：cos(α－β)＝ ； (2)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式Sα－β：sin(α－β)＝ ； (4)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝ ； (5)公式Tα－β：tan(α－β)＝____________； (6)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝____________. cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 知识梳理 5 2.辅助角公式 知识梳理 6 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.(　　) (2)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立.(　　) × √ × × 自主诊断 2.计算cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°的结果为 cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12° ＝cos(72°－12°) √ 自主诊断 √ 自主诊断 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 自主诊断 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　两角和与差的三角函数公式 √ √ (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的. 思维升华 √ √ 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2023·新乡模拟)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C＝ . 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1， 即tan(A＋B)＝－1， 又因为A＋B∈(0，π)， (2)已知函数f(x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos θ ＝ . (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力. (2)对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚. 思维升华 4 (2)化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝ . 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) 1 ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 题型三　角的变换问题 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 思维升华 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由三角函数的定义， 得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)的值是 A.－2 B.2 C.1 D.－1 √ 由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°， 又tan 20°＋tan 25°＝tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＝1－ tan 20°tan 25°， 所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20° tan 25°＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得， sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 7.(2023·广州模拟)下列等式成立的有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确； 对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α) ＝2－2cos(β－α)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为θ∈(0，π)， 所以－θ∈(－π，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α＝ . －4 由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0， 因此3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， 整理得8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0， 因此sin(α＋β)sin α＝－4cos(α＋β)cos α， 即tan(α＋β)tan α＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 (1)求α＋β的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以cos α>0，cos β>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)tan(α＋β)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2023·郑州模拟)已知角θ∈(0,2π)，θ终边上有一点(cos 2－sin 2，－cos 2－sin 2)，则θ等于 √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又cos 2－sin 2<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 asin α＋bcos α＝__________________ (a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. sin(α＋φ) (4)tan αtan β＝1－＝－1. (3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开求值.(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关. (　　) A. B. C.－ D. ＝cos 60°＝. 3.若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于 A. B.－ C.－ D. ∴sin α＝－＝－＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. 所以cos φ＝，sin φ＝， 因为0≤φ<π，所以φ＝. 4.若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ . 因为sin x－cos x ＝2， 例1　(1)已知tan α＝，tan β＝，则tan(2α＋β)的值为 A. B. C.－ D.－ 由tan α＝，tan β＝，得 tan(α＋β)＝＝＝1， tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝＝＝. (2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于 A. B. C. D. 所以sin 2αcos β＝. 由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝， 可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝， ① sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝， ② 由①＋②得，2sin 2αcos β＝， 跟踪训练1　(1)(2023·榆林模拟)已知tan＝9，则tan α等于 A. B.－ C. D.－ 由tan＝＝9， 解得tan α＝. (2)在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则cos C等于 A. B.－ C.或 D.－ 在△ABC中，∵cos B＝>0， ∴sin B＝＝>，B∈. ∵sin A＝∈， ∴A∈，或A∈(舍去)， ∴cos A＝＝， ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝. 可得＝－1， 所以A＋B＝， 则C＝，cos C＝. － 则cos θ＝cos＝－sin φ＝－.  f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 则f(θ)＝sin(θ－φ)＝， 因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 跟踪训练2　(1)－＝ . 原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. ＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°) 例3　(1)已知cos＝－，α∈，则sin＝ . 因为cos＝－，α∈， 所以α∈，sin＝， 所以sin＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝. (2)(2023·临沂模拟)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝ . 所以cos＝－＝－， 因为<α<， 所以<＋α<π， 所以sin＝＝. 又因为0<β<，所以<＋β<π， ＝－sin ＝－ ＝－＝. (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等. 跟踪训练3　(1)(2024·上饶模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan(α－β)＝，则tan β等于 则tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝－1. ∵sin α＝，α为钝角， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－， 又tan(α－β)＝， (2)已知α为锐角，且cos＝，则cos α的值为 . ∵0<α<， ∴<α＋<， ∴sin＝， ∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝. 1.(2023·西宁模拟)若tan α＝－3，则tan等于 A.－ B.－ C. D. 因为tan α＝－3， 所以tan＝＝＝. A. B. C.－ D.－ ＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝. 3.已知sin＝－3cos，则sin 2α的值是 A.2 B. C.－2 D.－ ∵sin＝－3cos， 即sin α－cos α＝－3， 整理得2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝－. 5.定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于 A. B. C. D. sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝. ∵0<β<α<，∴0<α－β<， ∴cos(α－β)＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝， ＝×－×＝， ∴β＝. 6.(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)等于 A. B. C.－ D.－ 因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， 而cos αsin β＝， 因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝. A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误； 对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误. 8.已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是 A.cos(β－α)＝ B.cos(β－α)＝ C.β－α＝ D.β－α＝－ 由已知可得 所以cos(β－α)＝， 因为α，β，γ∈，则－<β－α<， 因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－. 9.已知sin＝，α∈，则cos的值为 . － 由已知得cos α＝，sin α＝－， 所以cos＝cos α＋sin α＝－. 10.求值：sin 220°(tan 10°－)＝ . 原式＝－sin 40° ＝－sin 40°· ＝－sin 40°· ＝ ＝＝＝1. 11.当θ∈(0，π)时，若cos＝－，则tan的值为 . 所以－θ∈， 因为cos＝－<0， 所以－θ∈， 所以sin＝＝， 所以tan＝tan＝－tan＝－＝. 于是·＝－4， 13.已知α，β∈，且 因为α，β∈， 由 解得cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， 则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. (2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值. 因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增， 所以0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝. 14.(2023·沈阳模拟)已知cos＝－，sin＝，且α∈，  β∈.求： (1)cos 的值； ∵α∈，β∈， ∴α－∈，－β∈， ∵cos＝－，sin＝， ∴sin＝＝， cos＝＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝－. ∵α∈，β∈， ∴α＋β∈，则∈， ∵cos ＝－， ∴sin ＝＝，∴tan ＝－. ∴tan(α＋β)＝＝＝. A.2 B.＋2 C.－2 D.＋2 tan θ＝＝－ ＝－＝－tan ＝tan＝tan， 故θ＝－2＋kπ，k∈Z. －cos 2－sin 2＝－sin<0， 故θ在第三象限，故k＝1，θ＝－2. 16.(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(sin α，cos α)，  B，当∠AOB＝时，写出α的一个值为 . －(答案不 唯一，满足α＝－＋kπk∈Z或α＝＋kπk∈Z的其中一值即可) 由题意可得＝(sin α，cos α)，＝， 所以||＝＝1， 同理可得||＝1， 则cos∠AOB＝cos〈，〉＝＝sin αcos＋ cos αsin ＝sin＝cos ＝－， 所以2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2α＋＝＋2kπ(k∈Z)， 解得α＝－＋kπ(k∈Z)或α＝＋kπ(k∈Z). $