第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第四章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 课标要求 内容索引 第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型 课时精练 第一部分 落实主干知识 1.角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为 、 、 . 按终边位置不同分为 和轴线角. 端点 正角 负角 零角 象限角 知识梳理 5 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转 的量所成的两个角叫作互为相反角.角α的相反角记为 . (4)终边相同的角：给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度单位用符号rad表示. 相同 －α 1 知识梳理 6 (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝_____ 弧长公式 弧长l＝____ 扇形面积公式 S＝___＝______ |α|r 知识梳理 7 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝___(x≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ tan α＝___ (x≠0)，其中r＝________. y x 知识梳理 8 (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 知识梳理 9 1.象限角 常用结论 2.轴线角 常用结论 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关.(　　) (4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角.(　　) × × √ × 自主诊断 √ 自主诊断 自主诊断 3.已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于 √ 自主诊断 4.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度. 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. －4π 返回 自主诊断 第二部分 探究核心题型 题型一　角及其表示 例1　(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则 √ 对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确. 微拓展 A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 √ (2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为__________________________________________. {α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} 终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}. (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 A.90°－α B.90°＋α C.360°－α D.180°＋α √ 若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C是第四象限角. (2)终边在直线y＝ 上，且在[－2π，2π)内的角α构成的集合为 _____________________. 题型二　弧度制及其应用 若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积. 延伸探究 (2)已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB等于________. 2sin 1 设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4，l＝4－2r,0<r<2， ∴当r＝1时，S取得最大值1， 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 思维升华 跟踪训练2　(1)(多选)(2023·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有 A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 √ √ √ 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4； 当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 √ 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 题型三　三角函数的概念 √ (2)sin 2·cos 3·tan 4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 √ 所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 思维升华 √ (2)(2023·济宁统考)若cos α·tan α<0，则角α的终边在 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 √ 因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限. 返回 课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 √ 知识过关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C中，－400°＝－360°－40°，则－400°是第四象限角，故C错误； D中，－315°＝－360°＋45°，则－315°是第一象限角，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2023·咸阳模拟)若坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 则点P位于第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以角x的终边在第四象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(2023·衡阳模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步.问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点B的横坐标为x，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在平面直角坐标系中 圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则点P所在的圆弧是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.若α＝1 560°，角θ与角α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________. 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为k·360°＋120°，k∈Z， 令k＝－1，得θ＝－240°；令k＝0，得θ＝120°. 120°或－240° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知扇形的周长为8 cm，则该扇形面积的最大值为________ cm2. 设扇形半径为r cm，弧长为l cm， 4 当r＝2时，扇形面积最大， 所以Smax＝4(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值范围为____________ ________________________________. {α|30°＋k· 180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝ {α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的 角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·兰山模拟)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α， 则 ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△POB中，PB＝rtan α， 即tan α＝2α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 13.若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ＋cos θ的值； 因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号. 综上，当a>0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a<0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度). (1)求θ关于x的函数关系式； 由题意得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 花坛的面积为 装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x， ∴花坛的面积与装饰总费用的比 令t＝17＋x，则t∈(17,27)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)(2023·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是 √ √ 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于点B是∠AOB的一边与单位圆的 交点，则y1是对应∠AOB的正弦值， x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0， 则x1＝cos x0，所以B错误； 当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2023·沈阳模拟)石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个底面直径为60 cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100 cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为______ cm. 15 由题意碾滚最外侧滚过的距离为2π×100＝ 200π(cm)，碾滚的周长为2π×30＝60π(cm)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以点A距碾盘的垂直距离为30－30×cos(180°－120°)＝15(cm). 返回 lr |α|r2 ，cos α＝， 3.若角α∈，则sin α<α<tan α. 2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2kπ－45°(k∈Z) B.k·360°＋(k∈Z) C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋(k∈Z) 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确. A. B.－ C. D.－ |OP|＝＝13， ∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误； 对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误； 对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误； 终边所在位置 若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示. 典例　已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在 ∵θ为第三象限角，∴为第二或第四象限角，又＝－sin ， ∴sin ≤0，∴角的终边在第四象限. (2)确定kα，(k∈N+)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.  x 在直角坐标系中画出直线y＝x(图略)，可以发现它与x轴的夹角为，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有和； 在[－2π，0)内，终边在直线y＝x上的角有－和－，故满足条件的角α构成的集合为. 由已知得α＝，R＝10 cm， 所以l＝αR＝×10＝(cm)， S扇形＝αR2＝××102＝(cm2). 例2　(1)已知一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，则此扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2. S弓形＝S扇形－S三角形＝－·R2·sin ＝－×102×＝(cm2). 则扇形的面积S＝lr＝(4－2r)r＝(2－r)r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 此时l＝2，则扇形的圆心角α＝＝2， 则AB＝2OAsin ＝2sin 1. 则由题意得解得或 A. B. C.3 D. ∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝. 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂 足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， 例3　(1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P，则cos 2α等于 A.－ B.± C. D. ∵在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，终边与单位圆交于点P， ∴sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝－. 因为<2<3<π<4<， 跟踪训练3　(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝ －，则m的值为 A.－ B.－ C. D. 由题意得点P(－8m，－3)，r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m>0，解得m＝. A.－是第四象限角 B.是第二象限角 C.－400°是第一象限角 D.－315°是第一象限角 A中，－是第三象限角，故A错误； B中，＝π＋，则是第三象限角，故B错误； 因为<5<2π，所以sin 5<0，cos 5>0， 3.(2023·聊城统考)已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为 A. B. C. D. 因为sin >0，cos <0， 根据三角函数的定义，可知sin x＝cos ＝－， 故角x的最小正值为2π－＝. A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B.问题[三四]中扇形的面积为 平方步 C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D.问题[三四]中扇形的面积为 平方步 依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝(平方步). 5.将点A绕原点逆时针旋转得到点B，则点B的横坐标为 A.－ B.－ C.－ D. 设点A所在的终边角为θ， 则点B所在终边角为θ＋，  x＝cos＝cos θcos －sin θsin ， 又因为cos θ＝－，sin θ＝， 所以x＝－×－×＝－. A. B. C. D.  ，，， 由题图可知，在上，tan α>sin α，不满足；在上，tan α>sin α，不满足；在上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；在上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足. 7.已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列选项正确的是 A.sin θ＝－ B.α为钝角 C.cos α＝－ D.点(tan θ，sin α)在第一象限 角θ的终边经过点(－2，－)， 则sin θ＝－，A正确； θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确； 因为tan θ＝>0，sin α＝>0， 8.(2024·长春模拟)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在点(1,0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则 A.经过1 s后，扇形AOB的面积为 B.经过2 s后，劣弧的长为 C.经过6 s后，质点B的坐标为 D.经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝－＋＝， 所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，故A错误； 经过2 s后，∠AOB＝－2×＋2×＝， 所以此时劣弧的长为αr＝，故B正确； 经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝， 结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点， 所以质点B的坐标为，故C错误； 经过 s后，质点B转过的角度为×＝， 质点A转过的角度为×＝－， 因为－＋＝2π， 所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故D正确. 则2r＋l＝8(0<r<4)，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4， 设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2， 则△POB的面积为r2tan α， 由题意得r2tan α＝2×αr2， 所以＝. 当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－； 当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝. 综上，sin θ＋cos θ＝±. 当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0； 当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin >0. ∴θ＝(0<x<10). θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50，  y＝(0<x<10). 则y＝－≤－ ＝， 当且仅当t＝，即t＝18时，  y取得最大值，最大值为， 此时x＝1，θ＝. A.若∠AOB＝α，则＝α B.若y1＝sin x0，则x1＝x0 C.若y1＝sin x0，则＝x0 D.若＝x0，则y1＝sin x0 由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确； 反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确. 所以碾滚滚过＝(圈)，即滚过了× 360°＝3×360°＋120°， $