第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第一章 培优点1　柯西不等式与权方和不等式 1.二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 题型一　柯西不等式 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立). 例1　已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值. 0 方法一　由柯西不等式得 0 方法二　由柯西不等式得 0 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法. 思维升华 跟踪训练1　设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________. ∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)， ∴a·b＝x－2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2， 即5×16≥(x－2y)2， 当且仅当b＝ka， 题型二　权方和不等式 例2　(1)若x>0，y>0， ＝2，则6x＋5y的最小值为__________. (2)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则 的最小值 为____. (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为______. 27 (2)已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则 的最小值为 A.1 B.3 C.6 D.9 √ 1.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋ 的最小值是 A.－5 B.－6 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 √ 能力提升 1 2 3 4 5 6 ∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 √ 1 2 3 4 5 6 3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为 1 2 3 4 5 6 √ 4.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则 的最小值为______. 1 2 3 4 5 6 36 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立). (3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立). 当且仅当x·＝y·， (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2] ＝(3x2＋2y2)≤11. 即或时等号成立， 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. |2x＋y|≤ 于是2x＋y的最大值为，最小值为－. ＝≤， 当且仅当x·＝y·， 即或时等号成立， 4 ∴－4≤x－2y≤4， (*) 即时，(*)式中右边等号成立， 或时，(*)式中左边等号成立， ∴当x＝，y＝－时，a·b的最大值为4. 1.二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立). 2.一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则≥，当且仅当＝＝…＝时等号成立.称之为权方和不等式.m为该不等式 的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. ＋ ＋2 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号. ＋＝＋＝＋≥＝， 即2≥，因为x>0，y>0， 则6x＋5y≥＋2，  ＋＋  ＋＋≥＝， 当且仅当＝＝， 即x＝y＝z＝时取等号. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次.  ＋  ＋＝＋≥＝27，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号. ＋＋ ∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2 ≥＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立. y ∴(16＋9)≥(2x＋y)2， 即－5≤2x＋y≤5， 当且仅当3x＝8y， 即时，左边取等号， ∴＋＝1， ∴z＝2x＋y的最小值是－5. 当时，右边取等号， 2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则＋≥，当且仅当  ＝时，等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)＝＋的最小值为 A.16 B.25 C.36 D.49 于是得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，即  x＝时，等号成立， 因为a，b，x，y>0，则＋≥， 所以函数f(x)＝＋的最小值为25. 当且仅当＝时，等号成立， 又0<x<，即1－2x>0， 根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立. A.14 B. C.29 D.  ＋＋＝＋＋≥＝36，当且仅当＝＝，即x＝，  y＝，z＝时取等号.  ＋＋  f(x)＝＋ ＝＋≥＝， 5.f(x)＝＋的最小值为________. 当且仅当＝， 即sin x＝±，cos x＝±时取等号. ＋≥， 令a＋b－2＝t，则＝＝t＋＋4≥8， 当且仅当即a＝b＝2时取等号， 所以＋的最小值为8. 6.若a>1，b>1，则＋的最小值为________. $