第五章 培优点8 等和(高)线定理与奔驰定理（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第五章 培优点8　等和(高)线定理与奔驰定理 1.等和(高)线定理 2 ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过O点时，k＝0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 3 2.奔驰定理 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 4 题型一　利用等和线求基的系数和的值 √ 方法一　(常规方法) ∵E为线段AO的中点， 方法二　(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 利用等和线求基的系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 思维升华 方法一　(常规方法) 由题意作图如图. 方法二　(等和线法) 设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH， 题型二　利用等和线求基的系数和的最值(范围) √ 如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB 相交于点E，与直线AC相交于点F， 求解步骤： (1)确定值为1的等和线； (2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值. 思维升华 [1,3] 作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点 B重合时，3x＋y取得最小值1； 当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的 取值范围是[1,3]. 题型三　奔驰定理 √ ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. 解得m＝4. 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比. 思维升华 √ 由奔驰定理可得 S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　(常规方法) ∴M为△ABC的重心， 如图，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　(等和线法) BC是值为1的等和线，过M作BC的平行线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　(常规方法) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　(等和线法) 如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC＝3∶1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H， ∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1， ∴AC′＝3AC，AB′＝3AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴λ＝3y，μ＝3x⇒λ＋μ＝3x＋3y＝3. 当点P位于A点时，显然有λ＋μ＝0， 综上，λ＋μ的取值范围是[0,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　(常规方法) 设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二　(等和线法) 设λ＋μ＝k， 如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线， 所以k＝λ＋μ＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以λ＋μ∈[1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于点M， 由题设知O为△ABC的重心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法一　如图，设AC的中点为M，BC的中点为N. 所以O为线段MN的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以S△AOC＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶3∶5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [3,4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线， 设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4， 故α＋β∈[3,4]. (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝ k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)， ∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立. (2)平面内一组基{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ， μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 例1　如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于 A.1 B. C. D. ∴＝(＋)＝＝＋＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 则k＝. 由图易知，＝，即λ＋μ＝k＝. 跟踪训练1　设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________. ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝. 故λ1＋λ2＝. 如图，过点A作＝，连接DF. ∴AF＝AH，因此λ1＋λ2＝. 例2　如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为 A. B.2 C. D.1 设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1， ∵BC∥EF，∴设＝＝k，则k∈， ∴＝k，＝k，＝λ＋μ＝λk＋μk，∴x＝λk，y＝μk， ∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤. 跟踪训练2　在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为上的一个动点，若＝  x＋y，则3x＋y的取值范围是________. 如图，取点D使得＝，＝x＋y＝3x＋y， 例3　已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于 A.2 B.3 C.4 D.5 由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0， ∴＝＝， 跟踪训练3　已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，  ＝，则S△ABC∶S△PBC等于 A.14∶3 B.19∶4 C.24∶5 D.29∶6 整理可得＝－， 由＝可得－ ＝(－)， 整理可得＝＋＝＋， 由＝可得＝(－)， 所以－＝＋， 整理得4＋6＋9＝0， 1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝＋λ，则λ等于 A. B. C.－ D.－ 由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以＋λ＝1，λ＝. 2.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋  ＝m，则m等于 A.2 B.3 C.4 D.5 ∵＋＋＝0， ∴＝， 又＝(＋)， ∴＝(＋)， 即＋＝3，∴m＝3.  ＝＋， 易知＝， ∴＋＝，∴m＝3. 3.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为 A. B. C. D.1 设＝t， 则＝＝(＋)＝＋＝＋(－)＝＋， ∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝. 则k＝. 由图易知，＝，即λ＋μ＝k＝. 4.点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为 5.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是 设＝x＋y，则x＋y＝1，当点P位于点D时，G，H分别位于点C′，点B′， ∴＝x＋y＝3x＋3y＝λ ＋μ， 6.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 A.[－2,2] B.(1，] C.[1，] D.[1,2] 其中A，B(1,0)，C(cos θ，sin θ)， 有＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 即(cos θ，sin θ)＝λ＋μ(1,0)， 整理得－λ＋μ＝cos θ，λ＝sin θ， 解得λ＝，μ＝cos θ＋， 则λ＋μ＝＋cos θ＋＝sin θ＋cos θ＝2sin，θ∈，易得λ＋μ∈[1,2]. 当点C运动到的中点时，k＝λ＋μ＝2， 7.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________. 设λ＋μ＝k，则k＝. 所以＝. 8.已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC 的面积为________. 因为＋＋2＝＋＋＋＝0， 所以2＋2＝0， 即＋＝0， 所以S△AOC＝S△ANC＝×S△ABC＝××4＝1. 方法二　因为＋OB＋2＝0，根据奔驰定理 可得，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶2， 所以＝＝，又S△ABC＝4， 9.设点O在△ABC的内部，且＝4＋5，则S△OAB与S△OBC之比是________. 由＝4＋5变形可得＋＝4＋5，整理可得＋3＋5＝0， 则＝＝5. 10.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________. 过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈. $