第五章 培优点7 极化恒等式（课件PPT）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

第五章 培优点7　极化恒等式 1.极化恒等式 在平面向量中： (a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b， (a－b)2＝a2＋b2－2a·b， 2 2.几何解释 3 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 4 题型一　利用极化恒等式求值 A.1 B.2 C.3 D.5 √ 方法一(极化恒等式法) 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 由向量的极化恒等式，知 方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，则E(2a,2b)，F(a，b)， 方法三(常规法) 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决. 思维升华 27 ∴由极化恒等式知 题型二　利用极化恒等式求最值(范围) 记线段PQ的中点为H(图略)，点O到直线AB的距离为d， [－6,10] 方法一(常规法) 设MN的中点为A，连接OA， 方法二(极化恒等式法) (1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解. 思维升华 √ 如图所示，设P是线段AB上的任意一点， 由于P是线段AB上的任意一点， 如图所示，取BC的中点O，过点O作OH⊥BC交AD于点H， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP， PM， 当且仅当M与P重合时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设圆C的半径为r，则r＝1， (PM)min＝CM－r＝2－1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标 为(a,1－a)，则点C在直线l：x＋y－1＝0上， 因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由极化恒等式得 ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在平行四边形ABOC中，因为OB＝OC， 设菱形ABOC对角线的交点为E， 则由极化恒等式得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取AB的中点E， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD， 两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·＝2－2(M为BC的中点)(如图). 例1　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1. (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，  ·＝4，·＝－1，则·的值是________.  ·＝||2－||2＝9n2－m2＝4，  ·＝||2－||2＝n2－m2＝－1， 联立解得n2＝，m2＝， 因此·＝||2－||2＝4n2－m2＝， 即·＝. 所以·＝(3a＋c,3b)·(3a－c,3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝， 所以·＝(2a＋c,2b)·(2a－c,2b)＝4a2－c2＋ 4b2＝.  ·＝(－)·(－)＝＝＝4，  ·＝(－)·(－)＝＝－1， 因此||2＝，||2＝， 所以·＝(－)·(－)＝＝＝. 跟踪训练1　(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，  F为线段BD的四等分点，则·＝________.  BD＝＝12，∴AO＝6，OE＝3，  ·＝2－2＝36－9＝27. (2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝________. 连接HF，EG，交于点O，则O为HF，GE的中点，则·＝·＝2－2＝1－2＝， ·＝·＝2－2＝1－2＝，因此·＋·＝. 例2　(1)已知△OAB的面积为1，AB＝2，动点P，Q在线段AB上滑动，且PQ＝1，则·的最小值为________. 则有S△OAB＝AB·d＝1，解得d＝1， 由极化恒等式可得·＝[(＋)2－(－)2]＝(4OH2－QP2)＝OH2－PH2＝OH2－≥d2－＝. (2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝16相交于M，N两点，若c2＝a2＋b2，P为圆O上的任意一点，则·的取值范围为________. 圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1，如图②， 则OA⊥MN，cos∠MOA＝＝， 则·＝(－)·(－) ＝·－·(＋)＋||2 ＝4×4×cos 2∠MOA－2·＋16 ＝16×(2cos2∠MOA－1)－2×4×1×cos〈， 〉＋16 ＝2－8cos〈，〉∈[－6,10]， 故·的取值范围为[－6,10]. 则·＝||2－15∈[－6,10]， 故·的取值范围为[－6,10]. 圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1，如图③， 设MN的中点为A，·＝||2－||2＝||2－15. 因为||－||≤||≤||＋||， 所以3≤||≤5， 跟踪训练2　(1)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是 A.[0,1] B.[0，] C.[1,2] D.[－1,1]  ＝＋，＝＋＝－，圆O 的半径长为1， 则||∈[1，]， 所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－1∈[0,1]. (2)在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则· ＋2的最小值是________. 2 则·＋2＝2－2＋2＝2＋2 ≥2＋2≥||·||＝2. 当点P运动到点H且使HO⊥BC，||＝||时，等号成立， 故·＋2的最小值是2. 1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于 A.－ B.－ C.－ D.－ ∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝. 由极化恒等式得·＝2－2＝－1＝－. 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是 A.－2 B.－ C.－ D.－1 则·(＋)＝2·＝2||2－||2＝2||2 －≥－， 3.已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则·的取值范围是 A. B. C.[－3,5] D.[1－2，1＋2] 如图所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中点M， 则·＝2－2＝2－4. 而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(·)max＝32－ 4＝5； (·)min＝12－4＝－3. 因此·的取值范围是[－3,5]. 4.已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则·的最小值为 A.－ B. C. D. 由极化恒等式知·＝||2－||2，而||2＝4， 所以·＝||2－||2＝||2－1. 所以||的最小值即为点O到直线l的距离d＝OE＝＝， 所以(·)min＝d2－1＝－. A.1 B.2 C. D. (a－c)·(b－c)＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]， 又|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝， 于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|，∴|c|≤. 6.已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足＋＋＝0，点P是圆O内一点，则·＋·的取值范围是 A.[－4,14) B.(－4,14] C.[－4,4) D.(－4,4] 如图，由＋＋＝0，得＋＝. 所以平行四边形ABOC是菱形，且BC＝2.  ·＝||2－||2＝||2－1，  ·＝||2－||2＝||2－3， 所以·＋·＝2||2－4. 因为P是圆O内一点，所以0≤||<3， 所以－4≤2||2－4<14， 即－4≤·＋·<14. 7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________. 取AE的中点O(图略)，则·＝2－2＝1. 8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若  ·＝－7，则·＝________. 由·＝2－2＝9－2＝－7，得||＝8， 则·＝·＝2－2＝25－×64＝9. 9.在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________. 则·＝2－2＝2， 所以2＝18， 因为＝3，||＝8， 所以||＝2，||＝4， 延长AD，EP交于点F，故DP为△FAE的中位线，所以2＝  ＝40， 所以·＝2·＝·＝2－2＝22. 10.在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值为________. － 则·＝·＝||2－||2＝||2－， 易知||∈[||，||]＝， 则·＝2－∈， 故所求最小值为－. $