第一章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 一、单项选择题 1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝，那么A∪B等于(　　) A．(－1,4) B．(－1,4] C．(－2,5) D．[－2,5) 答案　D 解析　由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4， 即A＝[－2,4]． 由<0，解得－1<x<5，即B＝(－1,5)， 所以A∪B＝[－2,5)． 2．“x<1”是“x2－4x＋3>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1， 所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件． 3．若不等式16kx2＋8kx－3<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k≤0 C．－3<k≤0 D．k<－3或k≥0 答案　C 解析　当k＝0时，原不等式为－3<0，恒成立，满足题意； 当k≠0时，需满足解得－3<k<0. 综上所述，－3<k≤0. 4．若关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则q的取值范围是(　　) A．q>8 B．q<－4 C．q>8或q<－4 D．q<－8 答案　D 解析　由题意得 解得q<－8. 5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π C．－2π<α－β<0 D．{0} 答案　C 解析　∵－π<β<π， ∴－π<－β<π， 又－π<α<π， ∴－2π<α－β<2π， 又α<β，∴α－β<0， ∴－2π<α－β<0. 6．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D．4 答案　B 解析　因为a，b为正实数，所以 a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2－1＝2－1＝3， 当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝时等号成立． 7．若关于x的方程x2＋x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令f(x)＝x2＋x＋9， 则 解得－<a<0， 即a的取值范围是. 8．已知x1>0，x2>0，x1＋x2<ex1x2(e为自然对数的底数)，则(　　) A．x1＋x2>1 B．x1＋x2<1 C.＋< D.＋> 答案　A 解析　由题意得＝＋＝＋<e. 又(x1＋x2)＝1＋＋＋1 ≥2＋2＝4， 当且仅当x1＝x2时等号成立， 所以x1＋x2>>1. 二、多项选择题 9．下列各结论正确的是(　　) A．“xy>0”是“>0”的充要条件 B.＋的最小值为2 C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0” D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件 答案　AD 解析　xy>0⇔>0，故A正确； 由基本不等式知，＋≥2， 当且仅当＝， 即x2＝－8时等号成立， 由于x2＝－8无解， 所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误； 命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误； 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确． 10．若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A.< B．ln a2>ln b2 C．a|a|<b|b| D．a＋<b＋ 答案　BCD 解析　由a<b<0⇒ab>0⇒<⇒<，故A不正确； 由a<b<0⇒－a>－b>0⇒a2>b2>0⇒ln a2>ln b2，故B正确； 因为a<b<0，所以a|a|－b|b|＝－a2＋b2＝(b－a)(b＋a)<0⇒a|a|<b|b|，故C正确； 因为a<b<0，所以a＋－b－＝<0⇒a＋<b＋，故D正确． 11．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是(　　) A．a<0 B．b<0且c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R 答案　AB 解析　由题意得，方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1,2，且a<0，故A正确； 所以解得则b<0，c>0，故B正确； 所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误； 不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等式的解集为{x|x≠－1}，故D错误． 12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为 B．ab的最大值为 C．4a2＋b2的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 答案　BD 解析　由题意得，a>0，b＝2－2a>0， 从而0<a<1， 所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝52＋. 当a＝时，a2＋b2有最小值，故A错误； 因为2＝2a＋b≥2， 所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确； 4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×＝2， 当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故C错误； ＋＝(2a＋b)＝ ≥＝＝＋， 当且仅当＝， 即a＝2－，b＝2－2时等号成立，故D正确． 三、填空题 13．“α＝β”是“sin α＝sin β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个) 答案　充分不必要 解析　若α＝β，则sin α＝sin β， 当α＝0，β＝2π时，sin α＝sin β，此时α≠β， 所以“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件． 14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B⊆A，则 m 的取值范围为________． 答案　[－1，＋∞) 解析　∵B⊆A， ∴当B＝∅时，2m－1>m＋1， 解得m>2，符合题意； 当B≠∅时，解得－1≤m≤2， 综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)． 15．若对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案　{a|a≤4} 解析　对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立， 即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． 当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R； 当1<x≤4时，a≤＝x－1＋， ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号， ∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 16．运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是6 元/升，而汽车每小时耗油升，司机的工资是24 元/时．则这次行车的总费用最低为________元． 答案　260 解析　设所用时间为t＝ 小时，这次行车的总费用为y元． 则由题意知y＝×6×＋24×＝＋，x∈[50,100]． y＝＋≥2＝260， 当且仅当＝，即x＝60时等号成立． 故当x＝60千米/时，这次行车的总费用最低，最低为260元． 学科网（北京）股份有限公司 $