第四章 §4.9 解三角形中的最值与范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§4.9　解三角形中的最值与范围问题 重点解读　解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系． 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1 (2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． 解　(1)因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos(A＋B)＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝. 因为B∈，所以B＝. (2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B， 所以sin＝sin B，且0<A＋B<， 所以0<B<，0<－(A＋B)<， 所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝4cos2B＋－5 ≥2－5＝4－5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 思维升华　求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系． (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤2，即可求得b＋c的最值． 跟踪训练1　在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得 ＝＝＝2， 从而AC＝2sin B， AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B. 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0<B<， 所以当B＝时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2 (2023·佛山模拟)已知△ABC为锐角三角形，且cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)． (1)若C＝，求A； (2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围． 解　(1)因为cos A＋sin B＝(sin A＋cos B)， 所以cos A－sin A＝cos B－sin B， 即cos＝cos， 又A∈，B∈， 所以<A＋<，<B＋<， 所以A＋＝B＋，即B＝A＋， 又A＋B＋C＝π，C＝， 所以A＋A＋＋＝π，即A＝. (2)因为AD＝BD＝2，所以∠DBA＝∠A， 又∠ABC＝A＋，可得∠DBC＝， 在△DBC中，＝， 所以CD＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin， 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以<2A＋<，<sin<1， 所以∈(1,2)，即CD的取值范围为(1,2)． 思维升华　三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 跟踪训练2 (2023·嘉兴统考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，a＝3. (1)若BC边上的高等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 解　(1)由正弦定理，＝＝， 所以sin B＝cos B，则tan B＝1， 又0<B<π，所以B＝， 因为S△ABC＝ah＝acsin B， 所以×3×1＝×3×c×，解得c＝， 又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋()2－2×3××＝5， 解得b＝， 所以cos A＝＝ ＝－. (2)由正弦定理有＝＝， 且由(1)可知B＝， 所以c＝＝＝， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC＝acsin B＝×3×c×＝c∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)若A＝，求B； (2)若asin C＝1，求＋的最大值． 解　(1)由题意知＝， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B， 所以tan B＝tan C， 因为B，C∈，所以B＝C， 由A＝，所以B＝. (2)由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c， 因为asin C＝1，所以＝sin C， 由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1， 所以＝sin A， 因为A＝π－B－C＝π－2C， 所以＝sin A＝sin 2C， 所以＋＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)＝－cos22C－cos 2C＋， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝C， 则有<C<，得<2C<π， 所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时，＋取得最大值，所以＋的最大值为. 思维升华　解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． 跟踪训练3　(2023·浙江联考)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝. (1)若C＝，求B； (2)求的取值范围． 解　(1)由＝，及正弦定理可得， ＝，即c2＝b2＋ab， ∵C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴b2＋ab＝a2＋b2，解得a＝b，即A＝B， 又C＝，∴B＝. (2)由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴＝＝＋－1， 令x＝，则x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2， ∴f(x)＝2－∈(1,5)， ∴＋－1∈(1,5)， ∴的取值范围是(1,5)． 课时精练 一、单项选择题 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝4，且三角形有两解，则b的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(2，4) C．(0,4) D．(4,3) 答案　B 解析　由题意，△ABC有两解需满足asin B<b<a，即2<b<4. 2．(2023·昆明模拟)在△ABC中，∠ABC＝，D为边AC上一点，∠DBC＝且BD＝2，则△ABC面积的最小值为(　　) A. B. C．2 D. 答案　D 解析　根据等面积法，S＝acsin ＝×2c＋×2asin ，即ac＝c＋a， 即ac＝4c＋2a≥2，即ac≥， 当且仅当4c＝2a，即a＝，c＝时等号成立． 故S＝acsin ＝ac≥×＝. 3．(2023·襄阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若c2＝6S，则的最小值为(　　) A. B. C．1 D.－3 答案　B 解析　∵c2＝6S，∴c2＝6×absin C＝3absin C， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得a2＋b2－2abcos C＝3absin C， 即a2＋b2＝2abcos C＋3absin C， 两边同除以ab得＋＝2cos C＋3sin C ＝sin(C＋φ)≤，其中tan φ＝， 设＝x，x>0，即0<x＋≤， ∴≤x≤， ∴的最小值为. 4．(2023·开封模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,8sin Asin B＋cos C＝0，则的最大值是(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　在△ABC中，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B， 因为8sin Asin B＋cos C＝0， 所以8sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B＝0， 则9sin Asin B＝cos Acos B， 所以tan Atan B＝＝，且A，B均为锐角，故tan A，tan B>0， 由余弦定理的推论，得cos C＝， 所以＝＝tan C ＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－· ＝－(tan A＋tan B)， 又tan A＋tan B≥2＝， 当且仅当tan A＝tan B＝时等号成立， 所以的最大值是－×＝－. 二、多项选择题 5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，则下列说法正确的是(　　) A．C＝ B．若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C．若c＝2，则△ABC的周长的最大值为6 D．若b＝3，c＝2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B， ∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2， 即a2＋b2－c2＝ab， 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C＝＝， ∵0<C<π，∴C＝，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C＝ab＝， ∴ab＝4， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4， ∴c≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4， ∵ab≤，∴≤4， ∴a＋b≤4，当a＝b时等号成立， ∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即8＝a2＋9－3a，即a2－3a＋1＝0， 解得a＝， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误． 6．(2023·苏州调研)已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若(c－2asin B)sin C＝(bsin B－asin A)，则下列选项正确的是(　　) A．B＝ B．cos Acos C的取值范围是 C.的取值范围是 D．若BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为3 答案　AC 解析　对于A，由正弦定理得(c－2asin B)c＝(b2－a2)， ∴(a2＋c2－b2)＝2acsin B， ∴·＝cos B＝sin B， ∴tan B＝，又B∈，∴B＝，A正确； 对于B，cos Acos C＝cos Acos [π－(A＋B)]＝ －cos Acos(A＋B)＝－cos Acos ＝－cos A ＝sin Acos A－cos2A ＝sin 2A－cos 2A－ ＝sin－， ∵△ABC为锐角三角形，∴ 解得<A<， ∴<2A－<，∴<sin≤1， ∴0<sin－≤， 即cos Acos C的取值范围为，B错误； 对于C，由正弦定理得 ＝＝＝＝＝＋·， 由B知<A<，∴＝＋， 又tan A∈，∴∈(0，)， ∴＋∈， 即∈，C正确； 对于D，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC， ∴acsin ＝csin ＋asin ， 即ac＝c＋a，∴a＋c＝ac， 即＋＝， ∴4a＋c＝(4a＋c)＝≥＝3(当且仅当＝，即c＝2a时取等号)， 当c＝2a时，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝5a2－2a2＝3a2， ∴a2＋b2＝c2，即△ABC为直角三角形，不合题意， ∴4a＋c>3，D错误． 三、填空题 7．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝a(a＋b)，则sin A的取值范围是________． 答案　 解析　由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，即b＝a＋2acos C， 由正弦定理得sin A＋2sin Acos C＝sin B， ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin A＋2sin Acos C＝sin B＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin A＝sin(C－A)． ∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0， 又△ABC为锐角三角形， ∴0<A<，0<C－A<， ∴A＝C－A，解得C＝2A， 又0<A<，0<B＝π－3A<，0<C＝2A<， ∴<A<，∴sin A∈. 8．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 答案　－1 解析　设BD＝k(k>0)，则CD＝2k. 根据题意作出大致图形，如图． 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋4. 在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2－4k＋4， 则＝ ＝ ＝4－＝4－ ＝4－. ∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝， 即k＝－1时等号成立)， ∴≥4－＝4－2＝(－1)2， ∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1. 四、解答题 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin＝a＋c. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求其周长的取值范围． 解　(1)因为2bsin＝a＋c， 由正弦定理可得 2sin Bsin＝sin A＋sin C， 即2sin B＝sin A＋sin(A＋B)， 整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A， 又A∈(0，π)，所以sin A≠0， 所以sin B－cos B＝1，即sin＝， 又B∈(0，π)，所以B－∈， 所以B－＝，即B＝. (2)由(1)知B＝，又b＝2， 由正弦定理，得＝＝＝， 所以a＝sin A，c＝sin C， 所以a＋c＝(sin A＋sin C) ＝ ＝＝4sin， 在锐角△ABC中， ⇒<A<，则<A＋<， 所以<sin≤1，则2<a＋c≤4， 故△ABC的周长的取值范围为(2＋2,6]． 10．(2023·鞍山模拟)请从①asin B－bcos Bcos C＝ccos2B；②(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C；③＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________， (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a2＋b2的取值范围． 解　(1)若选①， 因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B， 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos Bcos C＋sin Ccos2B， 即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)， 所以sin Asin B＝cos Bsin A， 由A∈(0，π)，得sin A≠0，所以sin B＝cos B， 即tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选②， 由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C， 化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac， 即＝，所以cos B＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. 若选③， 因为＝a，由正弦定理得＝sin A， 即sin Bsin A＝sin A(1＋cos B)， 因为0<A<π，所以sin A≠0， 所以sin B＝1＋cos B，所以sin＝， 又因为－<B－<， 所以B－＝，所以B＝. (2)在△ABC中，由正弦定理＝＝， 得a＝，b＝， 由(1)知，B＝， 又с＝1，代入上式得a＝，b＝， 所以a2＋b2＝c2＋2abcos C＝1＋2cos C＝1＋cos C＝1＋cos C＝1＋cos C ＝1＋×cos C ＝1＋＋. 因为△ABC为锐角三角形， 所以解得C∈， 所以tan C>，所以∈(0，)， 所以a2＋b2＝1＋＋ ＝2＋∈(1,7)． 学科网（北京）股份有限公司 $