第四章 必刷大题9 解三角形（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

必刷大题9　解三角形 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 解　(1)由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝， 由正弦定理可得 sin∠ABC＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得 ＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC ＝×＝. 2．(2024·唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，acos C＋asin C＝b. (1)求A； (2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝，求△ABC的周长． 解　(1)由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B， 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A， 则sin Asin C＝sin Ccos A， 又C∈(0，π)，sin C≠0，∴tan A＝， 又A∈(0，π)，∴A＝. (2)依题意得S△ABC＝bc·sin∠BAC＝AD·csin∠BAD＋AD·b·sin∠CAD， 即bc＝(b＋c)， 由余弦定理得4＝b2＋c2－bc， ∴(b＋c)2－(b＋c)＝4，解得b＋c＝， ∴△ABC的周长为＋2. 3．(2023·烟台联考)已知在平面四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD，∠BAD＝2∠BCD. (1)求∠ABC； (2)若CD＝4，∠ABD＝∠ADB，求四边形ABCD的面积． 解　(1)如图，在△ABD中，由正弦定理可得＝， 在△BCD中，由正弦定理可得 ＝. 因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC， 所以＝. 而BC＝AD，∠BAD＝2∠BCD， 故＝， 又sin 2∠BCD＝2sin∠BCDcos∠BCD， 所以cos∠BCD＝. 因为0°<∠BCD<180°， 故∠BCD＝30°，故∠ABC＝150°. (2)因为∠BAD＝2∠BCD＝60°， 且∠ABD＝∠ADB， 故AB＝AD＝BD，△ABD为等边三角形． 所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝150°－60°＝90°， 因为CD＝4，∠BCD＝30°，所以BD＝2， 故四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝×2×2×sin 60°＋×2×4×sin 60°＝3. 4．(2023·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3(acos C－b)＝csin A. (1)求角A； (2)若△ABC的面积为2，D为BC边上一点，且BD＝2CD.求AD的最小值． 解　(1)由3(acos C－b)＝csin A 及正弦定理可得3(sin Acos C－sin B)＝sin Csin A， 即3(sin Acos C－sin Acos C－cos Asin C)＝sin Csin A， 即－3cos Asin C＝sin Csin A， 又C∈(0，π)，则sin C>0，则tan A＝－， 又A∈(0，π)，则A＝. (2)∵△ABC的面积为2，∴bcsin A＝2， 又A＝，∴bc＝8， 又∵D为BC边上一点，且BD＝2CD， ∴＝＋＝＋(－) ＝＋， 则2＝2 ＝2＋2＋· ＝c2＋b2＋bc× ＝c2＋b2－bc≥2××bc－bc ＝bc＝， 当且仅当c2＝b2，即c＝4，b＝2时取等号，即2的最小值为. 即AD的最小值为. 5．已知在非钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝；②a＝4；③c＝4；④sin C＝. (1)指出这三个条件，并说明理由； (2)求边长b和三角形的面积S△ABC. 解　(1)该三角形同时满足①②③，理由如下： 若非钝角△ABC同时满足①④， ∵sin C＝<， ∴0<C<或<C<π(舍)， 又A＝，∴<A＋C<， ∴<B＝π－(A＋C)<， 这与△ABC为非钝角三角形相矛盾，故①④不能同时选， ∴②③必选． 若选②③④，∵a<c，∴A<C， ∵sin C＝<，∴0<C<， ∴A＋C<，∴B＝π－(A＋C)>， 与△ABC为非钝角三角形相矛盾， ∴该三角形同时满足①②③. (2)由余弦定理知， a2＝b2＋c2－2bccos A ＝b2＋32－2×4×b×＝16， 化简得b2－8b＋16＝0，∴b＝4， ∴S△ABC＝bcsin A＝×4×4×＝8. 6．(2024·长春模拟)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＋ccos B＝6. (1)求边长a； (2)若△ABC是锐角三角形，且________，求△ABC的面积S的取值范围． 要求：从①A＝；②b＋c＝10这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)方法一　因为bcos C＋ccos B＝6， 由余弦定理，得b·＋c·＝a＝6. 方法二　因为bcos C＋ccos B＝6， 由正弦定理，得2R(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝6， 所以2Rsin(B＋C)＝6， 所以2Rsin A＝6，即a＝6. (2)选择①. 因为＝＝＝＝6， 所以b＝6sin B，c＝6sin C， 所以S＝bcsin A＝18sin Bsin C ＝18sin Bsin ＝18sin B ＝18sin Bcos B＋18sin2B ＝9sin 2B＋9－9cos 2B ＝9sin＋9， 因为△ABC是锐角三角形， 所以 又C＝－B，所以<B<， 所以<2B－<， 所以<sin≤1， 所以9<9sin≤9， 所以18<S≤9＋9， 即△ABC的面积S的取值范围是(18,9＋9]． 选择②. 因为b＋c＝10，则c＝10－b， 因为△ABC是锐角三角形， 所以 即 解得<b<， 因为cos C＝＝， 所以sin C＝＝， 所以S＝absin C＝3b·＝4，<b<，设g(x)＝－x2＋10x－16＝－(x－5)2＋9，<x<， 由二次函数的性质可得，当x＝5时，g(x)取得最大值g(5)＝9， 当x＝时，g(x)＝， 又＝， 所以g(x)∈， 即－b2＋10b－16∈， 所以∈， 所以<S≤12， 即△ABC的面积S的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $