第二章 §2.4 函数的对称性（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§2.4　函数的对称性 课标要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 知识梳理 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)． 2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．(　√　) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　) (3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(　×　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　) 2．函数f(x)＝的图象的对称中心为(　　) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 答案　B 解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点(0,0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于点(0,1)对称． 3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3) 答案　A 解析　因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3)． 4．(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点________． 答案　(－1,2) 解析　y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)， 则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2). 题型一　轴对称问题 例1 (1)(2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f 等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　由函数f(x＋1)为偶函数， 可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4， 所以f ＝f ＝－f ＝－3＝. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 答案　(－1,1) 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1,1)． 思维升华 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 跟踪训练1 (1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 答案　D 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． (2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 答案　C 解析　依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称． 函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)， 则x1＋x2＋…＋xm＝4×＝2m. 题型二　中心对称问题 例2 (1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1,0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0,1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2,2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确． (2)(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，则f(2 024)等于(　　) A. B. C. D．0 答案　D 解析　因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(－x)＝f(2＋x)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的周期为4， 所以f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0. 思维升华 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． (2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　C 解析　∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0， 又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b ＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b， ∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0， ∴解得 题型三　两个函数图象的对称 例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 跟踪训练3 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x 答案　C 解析　与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 课时精练 一、单项选择题 1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A．y＝ B．y＝lg|x| C．y＝tan x D．y＝x3 答案　A 解析　y＝的图象关于y＝x、坐标原点(0,0)分别成轴对称和中心对称，故A正确； y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误； y＝tan x关于点(k∈Z)成中心对称，但无对称轴，故C错误； y＝x3为奇函数，其图象关于坐标原点(0,0)成中心对称，但无对称轴，故D错误． 2．(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x轴对称 答案　C 解析　令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x， ∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称， ∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称． 3．(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1,0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 答案　A 解析　由已知可得，f(2－x)＝22－x＋＝＋4·＝＋2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f(2－x)＝2x＋，则f(2－x)≠－f(x)，故B项错误； f(－x)＝2－x＋＝4·2x＋，则f(－x)≠f(x)，故C项错误； 因为f(－x)＝4·2x＋，则f(－x)≠－f(x)，故D项错误． 4．(2023·赣州联考)已知函数f(x)在上单调递增，满足对任意x∈R，都有f ＝f ，若f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D．(－∞，2] 答案　C 解析　由f ＝f ，得函数f(x)图象的对称轴是直线x＝， 因为函数f(x)在上单调递增， 所以函数f(x)在上单调递减， 因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减， 则解得1<a≤. 所以实数a的取值范围为. 5．已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于(　　) A．3 B. C．－1 D．－ 答案　D 解析　设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)， 则则 则y′＝f(1－2m＋x′)， 即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称， 则1－2m＝2，得m＝－. 6．(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则(　　) A．f ＝0 B．f(0)＝1 C．f ＝0 D．f(1)＝1 答案　B 解析　因为函数y＝f(x＋1)为偶函数， 所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称， 因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数， 所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1， 所以f(0)＝f(2)＝1. 二、多项选择题 7．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案　ABD 解析　∵f(x)＝2x－1＋21－x， ∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)， 即f(x)＝f(2－x)， 即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误； ∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误． 8．(2023·恩施模拟)定义在R上的函数f(x)，f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴 B．周期T＝2 C．函数f(x)在[4,5]上单调递增 D．f(5)＝0 答案　AC 解析　因为f(x－1)＝f(3－x)， 所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确； 因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称， 所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称， 又因为f(x)的对称轴为x＝1， 所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误； 直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减， 所以函数f(x)在[0,1]上单调递增， 又f(x)的周期T＝4， 所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确； 因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0， 则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误． 三、填空题 9．(2023·苏州模拟)写出一个同时满足条件：①f(x＋2)＝f(x)，②f(1－x)＝f(1＋x)的非常数函数，f(x)＝________. 答案　cos πx(形如acos πx＋b或a＋b或a＋b或a＋b等) 解析　因为f(x＋2)＝f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)， 所以函数的周期T＝2，函数的对称轴为直线x＝1， 故可取函数f(x)＝cos πx. 10．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝________. 答案　2 解析　因为函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象， 所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 11．(2024·玉溪统考)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x＋3)是偶函数，当x≥3时，f(x)＝log2x，则不等式f(2x＋2)>f(x－1)的解集为________． 答案　 解析　∵y＝f(x＋3)是偶函数， ∴f(x)的图象关于直线x＝3对称． ∵当x≥3时，f(x)＝log2x， ∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增， ∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，即|2x－1|>|x－4|， ∴(2x－1)2>(x－4)2，即3x2＋4x－15>0， 解得x<－3或x>. 12．(2023·荆州统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(－x)，设函数f(x)与函数y＝的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则(xi＋yi)的值为________． 答案　n 解析　∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 则f(2－x)＋f(x)＝0， ∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， ∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的， ∴函数y＝的图象关于点(1,0)对称， ∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1,0)对称， ∴(xi＋yi)＝i＋i＝2×＋0×＝n. 四、解答题 13．(2023·邢台检测)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解　(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4， 所以f(2＋x)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 14．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2，求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)， 故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)． (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． 15．设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋4) D．f(x＋6)为奇函数 答案　D 解析　因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数． 16．(多选)(2024·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(2)＝1 B．g(0)＝1 C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0) D．g(－1)＋g(2)<2 答案　BCD 解析　∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称， 将y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象， ∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0， ∵g(x)＝f(x)＋1， ∴g(0)＝f(0)＋1， ∴g(0)＝1，故B选项正确； ∵y＝f(x－2)为减函数， ∴f(x)为减函数， ∴g(x)＝f(x)＋1为减函数， 又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误； ∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数， ∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确； g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2， ∵f(1)>f(2)， ∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确． 学科网（北京）股份有限公司 $