第二章 §2.2 函数的单调性和最值（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§2.2　函数的单调性和最值 课标要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增．(　×　) (2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．(　×　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　√　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) 2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝2x 答案　A 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 3．(2023·宜春统考)函数y＝－在区间[1,2]上的最大值为(　　) A．－ B．－ C．－1 D．不存在 答案　A 解析　y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1,2]上单调递增， 所以ymax＝－＝－. 4．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<，即x<，则x的取值范围为. 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 答案　ACD 解析　∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 例2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解　方法一　定义法 设－1<x1<x2<1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－ a＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 方法二　导数法 f′(x)＝＝＝－. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法． 跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　B 解析　g(x)＝x·|x－1|＋1 ＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 答案　 解析　令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3 (2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4)． 命题点2　求函数的最值 例4 (2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为(　　) A. B．[0,1] C. D. 答案　C 解析　由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减， 可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝， 故值域为. 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)． 命题点3　解函数不等式 例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　依题意得⇒－1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[－1,1)． 命题点4　求参数的取值范围 例6 (2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B. C. D．[1,2] 答案　C 解析　对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立， 所以函数f(x)＝在R上是增函数， 所以解得<a≤1， 所以实数a的取值范围是. 思维升华 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2,1) B．(0,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数， 则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案　[1,2) 解析　f(x)＝＝＝1＋， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝3－x 答案　B 解析　y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意； y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意； y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意； y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意． 2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 答案　B 解析　∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)． 3．(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为(　　) A．f(1)>f(－2)>f(－3) B．f(－2)>f(－3)>f(1) C．f(－3)>f(1)>f(－2) D．f(－3)>f(－2)>f(1) 答案　D 解析　因为f(x)是偶函数， 所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)． 因为f(x)在[1,3]上单调递增， 所以f(3)>f(2)>f(1)， 所以f(－3)>f(－2)>f(1)． 4．已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为(　　) A. B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵f(x)＝＝2＋在[2,6]上单调递减， ∴f(x)max＝f(2)＝4. 5．(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为(　　) A．(e，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0，＋∞) 答案　C 解析　函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)． 因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝1＋ln 1－1＝0， 所以不等式f(x)<0的解集为(0,1)． 6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 答案　A 解析　不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 二、多项选择题 7．下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上是增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案　AD 解析　对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确． 8．(2023·广州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 答案　BC 解析　∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值， ∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内， ∴a<1， g(x)＝＝x＋－2a(x≥1)， 任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)， 由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0， 则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 所以g(x)＝x＋－2a在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g(1)＝1－a，无最大值． 三、填空题 9．函数f(x)＝的单调递增区间为______． 答案　[－1,1] 解析　要使函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)的单调递增区间为[－1,1]． 10．(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 答案　 解析　函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数， 故f(x)在R上是增函数， f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<. 11．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________________． 答案　f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解析　由题意知，令f(x)＝(x－1)2， 满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立， 但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增， 所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题． 12．(2023·临川一中模拟)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案　[2,4) 解析　函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减， 当0<a<1时，x2－ax＋3＝2＋3－≥3－>0恒成立， 而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此0<a<1不符合题意； 当a>1时，函数y＝logau在(0，＋∞)上单调递增， 由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减， 因此≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4， 所以实数a的取值范围是[2,4)． 四、解答题 13．(2023·昆明统考)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 解　(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 14．(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0. 解　(1)f(x)＝＝1－在R上是增函数． 证明：在R上任取x1，x2且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝， 由x1<x2可知， 所以， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)． 即f(x)在R上是增函数． (2)易知f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数， 由(1)知，函数f(x)在R上是增函数， 由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)， 所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0， 解得－3<t<1， 即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}． 15．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 答案　ABC 解析　由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减， 故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2＋1)， 故f(|2ax|)<f(2x2＋1)， 所以|2ax|<2x2＋1， 当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求， 当x≠0时，|2a|<＝2|x|＋在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立， 其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|＝，即|x|＝时，等号成立， 故|2a|<2，解得－<a<， 综上，a的取值范围为－<a<， A选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A正确； B选项，⊆(－，)，B正确； C选项，[0，)⊆(－，)，C正确； D选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D错误． 16．已知函数f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 答案　(－∞，0]　(2,4] 解析　若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4， 解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]． 学科网（北京）股份有限公司 $