第八章 §8.12 圆锥曲线中范围与最值问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§8.12　圆锥曲线中范围与最值问题 题型一　范围问题 例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时，|MN|＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)设经过点H(0，－1)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围． 解　(1)当MN⊥x轴时，设F1(－c,0)，M(－c，m)， 则c2＝a2－b2，＋＝1，即m2＝， 又|MN|＝3，即＝3， 又＝，得a＝2，b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意得直线PQ的斜率一定存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx－1(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F(－x1，y1)， 联立整理得(3＋4k2)x2－8kx－8＝0， Δ＝64k2＋32(3＋4k2)＝192k2＋96>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 直线FQ的方程y－y1＝(x＋x1)，设G(0，yG)， 则yG－y1＝·x1，yG＝＋kx1－1＝－1＝－3， S△PQG＝＝|x1－x2|＝＝＝. 令2k2＋1＝t，t∈(1，＋∞)， 则S△PQG＝4×＝4×，t∈(1，＋∞)， 由于4t＋＋4∈(9，＋∞)，∈， 所以∈， 则4×∈， 所以△PQG面积的取值范围为. 思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1 (2024·佛山模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 解　(1)依题意，∠BAD＝90°，焦半径c＝2， 由|AF|＝|BF|，得a＋c＝， 得a2＋2a＝22－a2， 解得a＝1(a＝－2<0舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故双曲线C的方程为x2－＝1. (2)显然直线MN不可能与x轴平行， 故可设直线MN的方程为x＝my＋n， 联立消去x整理得 (3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件下， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝， 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 代入根与系数的关系得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简得n2－4n－5＝0， 解得n＝5或n＝－1(舍去)， 则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝， 又M，N都在双曲线的右支上，且k1k2＝－2， 故y1y2＝＝<0， 即3m2－1<0,0≤m2<， 此时1≤<，d＝∈(3，6]， 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]． 题型二　最值问题 例2 (2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． 解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)． (2)由(1)知y2＝4x， 所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 由题意得·＝0， ＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1， 所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， |MN|＝ ＝ ＝ ＝2|n－1|， 所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积最小，为Smin＝(2－2)2＝12－8＝4(3－2)． 思维升华 圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 跟踪训练2 (2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)． (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值． 解　(1)由题意可得 解得p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0， 联立 消去x得y2－4ty－4＝0. 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 联立消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0. 所以y1＋y3＝－，y1y3＝. 所以|AC|＝ ＝ ＝ ＝ ＝·|ty1＋2| ＝·(ty1＋2)． 同理可得|BD|＝·(ty2＋2)， 所以|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]＝(t2＋1)＝8， 令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，x>0， 所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|取得最小值为12. 课时精练 1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(a,2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线C的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． 解　(1)由题意及抛物线的定义得a＋＝6， 又因为点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa， 由可得或 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y可得x2－2(p＋t)x＋t2＝0， 则x1＋x2＝2p＋2t，x1x2＝t2， 因为NA⊥NB， 所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(x1－1)(x2－1)＋(t－x1)(t－x2) ＝2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0， 所以2t2－(t＋1)(2p＋2t)＋t2＋1＝0， 可得2p＝， 由原点O到直线AB的距离不小于， 可得≥， 解得t≥2或t≤－2， 因为p>0，所以t≤－2不成立，所以t≥2， 因为2p＝＝t＋1＋－4，且函数y＝t＋1＋－4在[2，＋∞)上单调递增， 所以2p≥＝，所以p≥， 即p的取值范围为. 2．(2023·淄博模拟)已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点坐标为(－，0)， 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4， 即2a＝4，所以a＝2， 又因为c＝，可得b＝＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意． 故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝， 因为kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1，所以k≥－， 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1， 综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)． 3．(2024·郑州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3)． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 解　(1)由双曲线E的离心率为2，得＝2.① 因为双曲线E过点P(2,3)，所以－＝1.② 又c2＝a2＋b2，③ 联立①②③式，解得a＝1，b＝. 故双曲线E的标准方程为x2－＝1. (2)由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以S四边形ABCD＝4S△OAD. 由题意知直线AD的斜率不为零且过右焦点F(2,0)， 设直线AD的方程为x＝my＋2. 联立消去x， 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0. Δ＝36(m2＋1)>0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为A，D均在双曲线右支上， 所以 所以 解得0≤m2<. 所以S△OAD＝×|OF|×|y1－y2| ＝ ＝ ＝. 令＝t，则m2＝t2－1. 所以S△OAD＝＝. 令函数f(t)＝－3t， 易得f(t)在区间上单调递减， 所以当t＝1时，(S△OAD)min＝6. 所以四边形ABCD面积的最小值为24. 4．(2023·衡阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A(－1,0)，渐近线方程为y＝±x.直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为－2. (1)证明：直线l过定点； (2)若在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR的斜率的最大值． (1)证明　由题知a＝1，b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1， 显然直线l的斜率存在， 设直线l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0， 且x1＋x2＝，x1x2＝， 设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2， 则k1＝，k2＝， 故k1＋k2＝＋＝， 又x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m) ＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m＝， ∴k1＋k2＝ ＝＝＝－2， ∴(m－k)(m－k－2)＝0， ∵PQ不过点A，∴m－k≠0，∴m＝k＋2， ∴y＝k(x＋1)＋2，∴直线l过定点(－1,2)． (2)解　由题意可设直线PR：y＝t(x＋1)＋r(r≠0)，直线AP的斜率为k1，直线AQ的斜率为k2. 由得P. 由得P. 故|AP|2＝， 同理|AQ|·|AR|＝. 由∠APQ＝∠ARP可知，|AP|2＝|AQ|·|AR|， 即＝. ∵k1≠k2，k1＋k2＝－2， 化简得t＝－≤－. 当时取等号， ∴直线PR的斜率的最大值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $