第八章 必刷小题16 圆锥曲线（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

必刷小题16　圆锥曲线 一、单项选择题 1．(2023·淄博模拟)双曲线－x2＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2， 所以离心率为＝＝. 2．(2023·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　D 解析　根据题意，由椭圆的离心率为可得＝， 又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2， 故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20. 3．(2024·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4. 4．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 因为椭圆C的离心率为，面积为12π， 所以 解得a2＝16，b2＝9， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 5．(2024·滁州模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1， 设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1M⊥PF2， 因为M为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2， 所以△PF1F2为等边三角形，由图可知，直线PF2的倾斜角为. 6．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是(　　) A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1 答案　A 解析　由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1， 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图， 由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1， 当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1. 7．(2023·德州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为c，且∠PF2F1＝120°，则双曲线C的离心率为(　　) A.＋1 B. C.＋1 D. 答案　B 解析　作PM⊥x轴于点M，如图， 依题意|PM|＝c，∠PF2F1＝120°， 则∠PF2M＝60°， 由题意知F2(c,0)， 由sin∠PF2M＝＝，得|PF2|＝2c， 由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c， 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1， 解得2a＋2c＝2c，即a＝(－1)c， 又离心率e＝，于是有e＝， 所以双曲线C的离心率为. 8．(2023·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是(　　) A．4 B．10 C．4或10 D．4或12 答案　D 解析　可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x，可得y2＋4y－4＝0， 则y1＋y2＝－4， 即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4， 则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)， 易知，直线l过抛物线焦点(1,0)， 则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8， 且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5， 则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r， 所以b＝a－5， 则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2， 又圆心M(a，b)到直线l: y＝－x＋1的距离d＝＝，且满足2＋d2＝r2， 则16＋2(a－3)2＝r2，① 又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r， 即(a＋1)2＝r2，② ①②联立解得或 二、多项选择题 9．(2023·济南模拟)已知双曲线C：－＝1(m>0)，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m C．若(2,0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2 D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2 答案　CD 解析　由双曲线C：－＝1， 得a＝，b＝，c＝， 则双曲线C的实轴长为2，故A错误； 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即x±y＝0， 取右焦点(，0)和渐近线x＋y＝0， 则右焦点(，0)到渐近线x＋y＝0的距离为＝，故B错误； 因为(2,0)是双曲线C的一个焦点， 所以c＝＝2，则m＝2，故C正确； 因为渐近线y＝x和y＝－x垂直， 所以·＝－1，解得m＝2，故D正确． 10．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的离心率为 B．|PF1|的最大值为6 C．△F1PF2的周长为10 D．存在点P，使得△F1PF2为等边三角形 答案　ABD 解析　由椭圆C：＋＝1， 可得a＝4，b＝2，则c＝＝2， 对于选项A，椭圆C的离心率e＝＝，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF1|max＝a＋c＝6，故B正确； 对于选项C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝12，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF1|＝|PF2|＝a＝4，|F1F2|＝2c＝4，此时△F1PF2为等边三角形，故D正确． 11．(2023·潍坊模拟)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 答案　BCD 解析　易知点F的坐标为，选项A错误； 根据抛物线的性质知，MN过焦点F时， x1x2＝－p2＝－，选项B正确； 若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确； 抛物线x2＝y的焦点为， 准线方程为y＝－， 过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)， 所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|. 所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝， 所以线段|PP′|＝＝， 所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确． 12．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则(　　) A．椭圆C的离心率的取值范围是 B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋] C．存在点Q使得·＝0 D.＋的最小值为1 答案　BCD 解析　由题意得a＝2， 又点P(，1)在椭圆C外， 则＋>1，解得b<， 所以椭圆C的离心率e＝＝>， 即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确； 当e＝时，c＝，b＝＝1， 所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]， 即[2－，2＋]，故B正确； 设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0， 所以存在点Q使得·＝0，故C正确； (|QF1|＋|QF2|)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立， 又|QF1|＋|QF2|＝4， 所以＋≥1，故D正确． 三、填空题 13．(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________． ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上； ③离心率为. 答案　＋＝1(答案不唯一) 解析　只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可． 14．(2023·衡水中学模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为________． 答案　 解析　∵＝2，∴＝4，故＝4，∴＝， ∴两条渐近线方程为y＝±x， ∴两条渐近线所成的锐角为. 15．(2024·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＋＝4的解是________． 答案　x＝± 解析　因为＋＝4，所以＋＝4，可转化为点(x,2)到点(－2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以点(x,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝±. 16．(2023·永州模拟)已知点N(a,2)(a>0)在抛物线C：y2＝2px(0<p<2a)上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线x＝交于A，B两点，与线段NF交于点R，且|AB|＝2|RF|.若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为________________． 答案　y2＝4x 解析　由抛物线C：y2＝2px(0<p<2a)可知F， 设|NF|＝4t(t>0)， 则|RF|＝t，|AB|＝2|RF|＝2t，则|NR|＝3t， 故2＋2＝|NB|2＝|NR|2，即2＋(t)2＝9t2；① 又点N(a,2)(a>0)在抛物线C：y2＝2px(0<p<2a)上，故|NF|＝a＋＝4t，② 且12＝2pa，即pa＝6，③ ①②联立得12a2－20ap＋3p2＝0， 得2a＝3p或6a＝p， 由于0<p<2a，故2a＝3p，结合③， 解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x. 学科网（北京）股份有限公司 $