第八章 §8.10 圆锥曲线中常见结论及应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（北师大版 皖赣桂豫陕）

§8.10　圆锥曲线中常见结论及应用 重点解读　椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解． 题型一　椭圆、双曲线的常用结论及其应用 命题点1　焦点三角形 例1 (2023·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 答案　D 解析　由e＝，得＝，即a＝2c.① 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)， 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知＝b2tan ＝r(2a＋2c)， 即b2＝(a＋c)，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 思维升华　焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中＝b2·tan ， 双曲线中＝. 跟踪训练1 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设双曲线C2的方程为－＝1(a2>0，b2>0)， 则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3. 设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1， 又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2的面积为btan 45°＝， 即b＝b＝1. 所以a＝c－b＝3－1＝2. 故双曲线C2的离心率e＝＝＝. 命题点2　周角定理 例2 已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由椭圆的性质可得 ＝－＝－. 由椭圆的对称性可得 ＝－. 同理可得＝－. ∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为5＝－. 思维升华　周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 跟踪训练2 已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即<e<⇔<<⇔<2<， 所以<<⇒－<－<－， 即－<kMA·kMB<－. 命题点3　切线、切点弦方程 例3 椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　C 解析　设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋y1y＝1， 令y＝0，可得C，令x＝0，可得D， 所以△OCD的面积S＝··＝， 又点B在椭圆上，所以＋y＝1， 所以S＝＝＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x1＝1，y1＝时等号成立， 所以△OCD面积的最小值为. 思维升华　(1)已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1. (2)若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1. 跟踪训练3 点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线－y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 答案　(－1，－1) 解析　设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则PA，PB的方程分别为－y1y＝1，－y2y＝1， 因为点P在两条直线上，所以－y1y0＝1， －y2y0＝1. 这表明，点A，B都在直线－y0y＝1上， 即直线AB的方程为－y0y＝1. 又y0＝＋1，代入整理得(x－y)－(y＋1)＝0， 令解得 即直线AB过定点(－1，－1)． 题型二　抛物线的常用结论及其应用 与抛物线的焦点弦有关的二级结论 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋＝， |BF|＝x2＋＝， (2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝， (3)S△OAB＝(O为坐标原点)， (4)x1x2＝，y1y2＝－p2， (5)＋＝， (6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切． 例4 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　) A. B. C．4 D．2 答案　A 解析　如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈， ∵＝3， ∴F为AB的三等分点， 令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 由＋＝，得＋＝⇒t＝p， ∴|AB|＝3t＝p， 又|AB|＝，∴＝p⇒sin α＝， 又S△OAB＝|AB|，∴＝|AB|， 即＝·p⇒p＝2，∴|AB|＝. (2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限， 则yAyB＝－p2＝－8，所以p＝2. 又因为|AF|＝3|BF|，所以＝3， 即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8， 可得3y＝8，由于B在第四象限，则yB＝－， 所以yA＝2， 所以S△OAB＝|OF|·|yA－yB|＝. 思维升华　焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解． 跟踪训练4 (1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________. 答案　 解析　直线l的倾斜角α＝60°， 由|AF|＝＝4， 得p＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB|＝＝＝. (2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 答案　64 解析　依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 又l的倾斜角α＝. 所以S△OAB＝＝＝64. (3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为________． 答案　3＋2 解析　因为p＝2，所以＋＝＝1， 所以2|AF|＋|BF| ＝(2|AF|＋|BF|)· ＝3＋＋ ≥3＋2＝3＋2， 当且仅当|BF|＝|AF|，即|AF|＝＋1，|BF|＝＋1时，等号成立， 因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2. 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·太原模拟)过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若＝λ，|MN|＝9，则λ的值为(　　) A. B. C.或3 D.或2 答案　D 解析　在抛物线中，由焦点弦的性质可得 解得或 所以λ＝2或. 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8a2，则C的离心率是(　　) A. B. C．3 D．5 答案　B 解析　如图，由对称性知MN与F1F2互相平分， ∴四边形MF2NF1为平行四边形， ∵|F1F2|＝|MN|， ∴四边形MF2NF1为矩形， ∴＝4a2， 又＝＝4a2，即b2＝4a2， ∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝. 3．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 答案　A 解析　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈， 则直线l2的倾斜角为＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB|＝＝，|DE|＝＝， ∴|AB|＋|DE|＝＋＝ ＝≥16， 当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16. 4．(2023·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　) A. B．2 C. D．3 答案　A 解析　如图，·＝0， ∴BA⊥BP，令kAB＝k， ∵∠ADO＝∠AOD， ∴kAP＝－kAB＝－k， 又BA⊥BP，∴kPB＝－， 依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝， ∴＝1，即e＝＝＝. 5．直线l过抛物线C：y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点且S△ABO＝3，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　C 解析　不妨令直线l的倾斜角为θ， 则S△ABO＝＝＝3， ∴sin θ＝，取θ＝60°， ∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2， ∴|AB|＝8，|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝|AB|sin θ＝4， ∴S四边形ABB′A′＝(|BB′|＋|AA′|)·|A′B′| ＝×(2＋6)×4＝16. 6．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　D 解析　由已知可得F(1,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)， 则切线AM，AN的方程分别为＋＝1，＋＝1， 因为切线AM，AN过点A(3，t)， 所以x1＋＝1，x2＋＝1， 所以直线MN的方程为x＋＝1， 因为F(1,0)，所以1＋＝1， 所以点F(1,0)在直线MN上， 所以M，N，F三点共线， 所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0. 二、多项选择题 7.已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．线段AB长度的最小值为2 B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切 C．∠HFG＝90° D．∠AMO＝∠BMO 答案　BCD 解析　如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D， 当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确； ∵直线y＝－1为准线， ∴|ED|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|， 故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切， 故B正确； 又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF， 又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG， ∴∠BFG＝∠MFG， 同理可得∠AFH＝∠MFH， 又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°， ∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH. 即∠HFG＝90°，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在，∴设直线AB：y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， kAM＋kBM＝＋＝＋ ＝2k＋＝2k＋2·＝0， ∴∠AMO＝∠BMO，故D正确． 8．(2024·广州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的离心率为2 B．若PF1⊥PF2，且＝3，则a＝2 C．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切 D．若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1 答案　ACD 解析　对于A，由＝＝3， 得e＝＝＝2，故A正确； 对于B，因为PF1⊥PF2， 所以△PF1F2的面积为＝b2＝3， 又＝3，所以a＝1，故B错误； 对于C，设PF1的中点为O1，O为原点． 因为OO1为△PF1F2的中位线， 所以|OO1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确； 对于D，设P(x0，y0)，则x0<－a，y0>0. 因为e＝2，所以c＝2a，b＝a， 则渐近线方程为y＝±x， 所以∠PA2F1∈，∠PF1A2∈. 又tan∠PF1A2＝＝， tan∠PA2F1＝－， 所以tan 2∠PA2F1＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝＝tan∠PF1A2， 因为2∠PA2F1∈， 所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确． 三、填空题 9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________________． 答案　y2＝4x或y2＝16x 解析　抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)， 因为以MF为直径的圆与y轴相切， 所以该圆与y轴相切于点(0,2)， 故圆心的纵坐标为2，则M点的纵坐标为4， 又|MF|＝xM＋＝5， 所以xM＝5－，即M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8. 所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 10.已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，则|AB|的最大值为________． 答案　1 解析　连接OA，OB，如图所示．设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝1，即x0x＋4y0y－4＝0， 又R2＝|OA|2＝， R为圆的半径，R∈(1,2)， |AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－， 又＋y＝1，所以x＝4－4y， 所以|AB|2＝4－3y－ ＝5－(3y＋1)－≤5－2＝1， 当且仅当3y＋1＝， 即y＝，x＝时，等号成立，所以|AB|max＝1， 此时R2＝＝2，即R＝∈(1,2)， 故当R＝时，|AB|max＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $