5.3.1 第2课时 导数与函数单调性的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.3.1 第2课时　导数与函数单调性的综合应用 [课时跟踪检测] 1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,2) D. 解析:选A　f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0. 2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为 (　　) A.(-∞,-3) B.-3 C.3 D.(-∞,3) 解析:选B　由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3. 3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.[-1,+∞) B.[1,+∞) C. D. 解析:选B　f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥(sin x)max,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B. 4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 (　　) A.-3 B.-1 C.0 D.2 解析:选BD　依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD. 5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 解析:选B　因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f'(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)<f(2)<f(),即a<c<b.故选B. 6.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为 (　　) A.(-1,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1) 解析:选D　设g(x)=f(x)-2x-3,则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R,f'(x)<2,∴对任意x∈R,g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D. 7.(5分)若函数f(x)=ex(x2+a)在[-2,2]内单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  解析:因为函数f(x)=ex(x2+a),所以f'(x)=ex(x2+2x+a), 又函数f(x)=ex(x2+a)在[-2,2]内单调递减, 所以f'(x)=ex(x2+2x+a)≤0在[-2,2]上恒成立,即a≤-x2-2x在[-2,2]上恒成立, 令t=-x2-2x=-(x+1)2+1,则在[-2,2]上,-8≤t≤1,则a≤-8. 当a=-8时,f'(x)=ex(x2+2x-8)=ex[(x+1)2-9]不恒为零,也符合题意, 所以实数a的取值范围是(-∞,-8]. 答案:(-∞,-8] 8.(5分)若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增,且f'(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<2<k+2,解得2≤k<4. 答案:[2,4) 9.(5分)已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是　　　　.(写出一个符合条件的即可)  解析:f'(x)=x2-1,令f'(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)内单调递减,且f(-1)=,f(1)=-,由此可知定义域可以是[-1,1]. 答案:[-1,1](答案不唯一) 10.(5分)已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0⇒f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2⇒a∈[-2,0]. 答案:[-2,0] 11.(5分)已知函数f(x)=2x3-6x2-18x+1在区间(m,m2-2m)内单调递减,则实数m的取值范围是　　　　　　.  解析:由题意,得f'(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1). 令f'(x)<0,得-1<x<3,即函数f(x)的单调递减区间为(-1,3),因为f(x)在区间(m,m2-2m)内单调递减,所以(m,m2-2m)⊆(-1,3), 所以解得-1≤m<0. 答案:[-1,0) 12.(5分)已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f'(x)=-2x+1,令f'(x)=0,可得x=,当x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<<a+1,解得-<a<,即a的取值范围为. 答案: 13.(10分)已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性. 解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+1+=, 当a≥0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令f'(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,解得x1=<0(舍去),x2=>0,∴当x∈时,2x2+x+a<0,∴f'(x)<0, ∴f(x)在区间内单调递减; 当x∈时,2x2+x+a>0, ∴f'(x)>0, ∴f(x)在区间上单调递增. 综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增. 14.(10分)已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(4分) (2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.(6分) 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1. 曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1. 把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,即切点坐标为(1,0). 所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1. (2)令f'(x)=ln x+1=0,得x=. 当0<t≤时,在区间(0,t]内,f'(x)≤0,f(x)单调递减. 当t>时,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减;在区间内,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上,当0<t≤时,f(x)单调递减; 当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $