5.2.2 导数的四则运算法则 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.2.2　导数的四则运算法则 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列求导运算错误的是 (　　) A.'=1+ B.(log2x)'= C.(3x)'=3x D.(x2cos x)'=-2xsin x 答案:ACD 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2(g=10 m/s2),当t=5 s时,该质点的瞬时速度为 (　　) A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s 解析:选C　因为s'=60-gt,所以当t=5 s时,s'=60-5g=10 m/s.故选C. 3.曲线f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)在原点处的切线方程为 (　　) A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x 解析:选A　因为f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),所以f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x·[(x-1)(x-2)(x-3)]',所以f'(0)=(-1)×(-2)×(-3)+0=-6,所以切线方程为y=-6x. 4.已知曲线y=在点(0,a)处的切线方程为y=x+b,则a+b= (　　) A.2 B.e C.3 D.2e 解析:选A　根据导数的运算公式y'==,当x=0时,y'=2-a,∴2-a=1,即a=1.∵(0,1)在切线y=x+b上,即b=1,∴a+b=2.故选A. 5.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 解析:选B　函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在(0,+∞)上有解.所以f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2). 6.设对于曲线f(x)=-ex-x上任一点处的切线l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由f'(x)=-ex-1,得曲线y=f(x)在x=m处的切线斜率为f'(m)=-em-1<-1.由g'(x)=3a-2sin x,得曲线y=g(x)在x=n处的切线斜率为g'(n)=3a-2sin n.又曲线g(x)上总存在切线l2满足l1⊥l2,且∈(0,1),而sin n∈[-1,1],则3a-2sin n∈[3a-2,3a+2],故(0,1)⊆[3a-2,3a+2],所以解得-≤a≤,即a∈.故选D. 7.(5分)已知函数f(x)=(x-98)(x-99),则f'(99)=　　　　.  解析:由函数f(x)=(x-98)(x-99),可得f'(x)=2x-197,所以f'(99)=2×99-197=1. 答案:1 8.(5分)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=f'cos x+2x,则f'=　　　　.  解析:∵f(x)=f'cos x+2x,∴f'(x)=-f'sin x+2,∴f'=-f'sin+2,∴f'=1. 答案:1 9.(5分)(2025·新课标Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a=　　　　.  解析:y'=ex+1,令y'=ex+1=2⇒x=0, 代入y=2x+5⇒切点为(0,5), 再将(0,5)代入y=ex+x+a⇒a=4. 答案:4 10.(5分)已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线l的斜率为　　　　.  解析:由题意得,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=·(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,所以f'(x0)=f'(e)=+1. 答案:+1 11.(5分)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　　　　.  解析:由y=ex+x得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2,故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a), 由两曲线有公切线得y'==2,解得x0=-,则切点为, 切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2, 根据两切线重合,所以a-ln 2=0,解得a=ln 2. 答案:ln 2 12.(10分)求下列函数的导数: (1)y=-ln x;(2分) (2)y=(x2+1)(x-1);(2分) (3)y=;(3分) (4)y=.(3分) 解:(1)y'=(-ln x)'=()'-(ln x)'=-. (2)y'=[(x2+1)(x-1)]'=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1. (3)y'==. (4)y'= =. 13.(10分)已知函数f(x)=ln x+ax2+x(a∈R),且f'(1)=4. (1)求a的值;(4分) (2)求函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程.(6分) 解:(1)由f(x)=ln x+ax2+x,得f'(x)=+2ax+1,又f'(1)=4,所以1+2a+1=4,解得a=1. (2)由a=1,得f(x)=ln x+x2+x,所以f(2)=ln 2+6,即切点为(2,ln 2+6), 又切线的斜率为k=f'(2)=, 所以函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2+6)=(x-2),即11x-2y+2ln 2-10=0. 14.(10分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”. 现已知f(x)=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题: (1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;(4分) (2)求证:f(x)的图象关于“拐点”A对称.(6分) 解:(1)∵f'(x)=3x2-6x+2,f″(x)=6x-6, ∴令f″(x)=6x-6=0,得x=1.有f(1)=1-3+2-2=-2,∴“拐点”A为(1,-2). (2)证明:设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2.P(x0,y0)关于“拐点”A(1,-2)的对称点为P'(2-x0,-4-y0). 把点P'坐标代入y=f(x)得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2, ∴左边=右边,∴点P'(2-x0,-4-y0)在y=f(x)的图象上.∴y=f(x)关于“拐点”A对称. 学科网（北京）股份有限公司 $