5.3.1导数的运算同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

导数的概念及意义 目录 题型一 导数的定义 1 题型二 导数的物理意义 1 题型三 导数的几何性质 3 题型四 切线方程 5 题型五 基本初等函数的导数 6 题型六 导数的四则运算法则 7 题型七 复合函数的导数 8 题型八 导数综合练习 10 题型九 原函数与导函数共存 11 题型十 在某处的切线方程 12 题型十一 过某处的切线方程 13 题型十二 公切线 16 题型一 导数的定义 例1．（2025高二下·会东期中）已知函数在处的导数为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 变式．（2025高二下·仙居月考）若函数在处的导数等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】. 答案为：B. 【分析】 根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 题型二 导数的物理意义 例1．（多选）（2025高二下·河源期中）在某次物理实验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（　　） A．该玩具车位移的最大值为110 B．该玩具车在内的平均速度为12.5 C．该玩具车在时的瞬时速度为30 D．该玩具车的速度和时间的关系式是 【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：已知可得其导数， A、由二次函数性质可知当时，位移取得最大值，其最大值为，故A正确； B、该玩具车在内的平均速度为， 因此该玩具车在内的平均速度为，故B错误； C、由可知当时的瞬时速度为，故C正确； D、由于，所以该玩具车的速度和时间的关系式是，故D正确. 故答案为：ACD 【分析】利用二次函数性质可判断A，利用平均速度计算公式即可判断B，利用瞬时速度概念以及导数定义即可判断CD. 变式1．（2025高二下·东莞期中）函数在时的瞬时变化率为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：由可得， 故时的瞬时变化率为， 故答案为：B 【分析】先求导可得，利用瞬时速度分定义代入即可求解. 变式2．（2022高二下·杭州期中）函数在区间上的平均变化率是　 　. 【答案】 【解析】【解答】依题意，在区间[1，1+]内的函数值的增量为： =f(1+Δx)-f(1)=-1=， 于是得＝， 所以所求的平均变化率为. 故答案为： 【分析】根据平均变化率的定义得出，代入计算即可求解出答案. 题型三 导数的几何性质 例1．（2025高二下·白云月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：因为、分别是函数在、处的切线斜率， 由图可知， 又因为，， 所以. 故答案为：C. 【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义比较大小，从而找出排序正确的选项. 变式1．（2025高二下·涪城月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（　　） ①② ③④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解析】【解答】解：对于①和②，分别过点作函数的图象的切线， 由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，故②正确、①错误； 对于③，过点作直线，则直线的斜率为， 由图知，直线的倾斜角满足， 故，即，故③正确； 对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接， 则，所以直线的斜率， 由图知直线的倾斜角满足， 故，即，故④正确. 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合函数的图象，再利用导数的几何意义和割线的倾斜角与斜率的关系，从而逐项判断找出结论正确的选项. 变式2．（2025高二下·江苏期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】【解答】解：由， 得， 所以. 故答案为：A． 【分析】由导数的概念和函数的极限的关系式以及导数的几何意义，从而得出的值. 题型四 切线方程 例1．（2025高二下·会东期中）曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：函数，则， 又点，当时，， 即曲线在点处的切线方程的斜率为-4， 所以根据直线的点斜式方程可得切线方程为：， 即. 故答案为：A. 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再用直线的点斜式方程即可得解. 变式1．（2025高二下·自贡期中）已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 点位于函数上， ∴将x=1代入原函数得到=3，切线过点(1，3)， ，∴切线斜率， ∴切线方程为，则， 故答案为：B. 【分析】先利用导数的几何意义得出切线斜率，结合代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程. 题型五 基本初等函数的导数 例1．求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）. 变式1．（2022高二下·桂林期末）求下列函数的导数. （1）y＝x12； （2）； （3）； （4）y＝3x； （5）y＝log5x. 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【解析】【分析】利用导数公式求导可得答案。 变式2．（2025高二下·东莞期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：函数定义域为，，则. 故答案为：D. 【分析】求函数的定义域，再求导，代值利用特殊角三角函数值求解即可. 题型六 导数的四则运算法则 例1．（2024高二下·图木舒克期中） 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）解：， （2）解：， （3）解： ， 【解析】【分析】（1）根据复合函数的求导原则计算即可； （2）根据基本初等函数的求导公式求导即可； （3）根据基本初等函数的求导公式，结合导数的运算法则求解即可. 变式1．（2022高二下·湖北期中）求下列函数的导数： （1） （2） 【答案】（1）解： （2）解：. 【解析】【分析】（1）由导数的乘法运算求解即可； （2）由导数的除法运算求解即可。 变式2．（2022高二下·广东月考）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：∵， ∴． 【解析】【分析】（1）利用导数的加法运算法则得出函数的导数。 （2）利用导数的混合运算法则得出函数的导数。 （3）利用导数的乘除法运算法则得出函数的导数。 （4）利用二倍角的正弦公式结合导数的减法运算法则得出函数的导数。 变式3．（2021高二下·武功期中）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3） 【答案】（1）解：； （2）解：，； （3）解： . 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的乘法和加法运算法则，进而得出函数的导函数。 （2）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和导数的加减法运算法则和复合函数求导方法，进而得出函数的导函数。 题型七 复合函数的导数 例1．（2025高二下·临潭期中）求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 变式1．（2024高二下·黔西南月考）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）解：因为， 所以. （2）解：因为， 所以. （3）解：因为， 所以 . （4）解：因为， 所以. 【解析】【分析】根据复合函数导数以及导数运算法则求得函数的导数. （1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以 . （4）因为， 所以. 变式2．（2025高三上·杭州期中）已知定义在上的连续函数的导函数，设，则　 　 【答案】 【解析】【解答】解：， 所以， 故答案为：. 【分析】根据复合函数求导法则，再将x=1代入进行求解即可. 题型八 导数综合练习 例1．（2024高二下·顺德期中）求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 【解析】【分析】（1）（2）由基本初等函数导数运算求导即可； （3）（4）（5）（6）由复合函数导数法则求解即可. （1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 变式1．求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 题型九 原函数与导函数共存 例1．（2025高二上·长沙期末）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：因为，所以， 则，解得． 由，解得，则． 故答案为：D. 【分析】由已知函数解析式中由f'(1)，故先对原式进行求导，代入，即可求出，，，可得的解析式，求出. 变式1．（2025高三上·岳阳期末）已知函数，则（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由，得， 令，则，解得， 故答案为：A 【分析】先对函数求导，得到含f'(1)的导函数表达式，再将x=1代入导函数，构造关于f'(1)的方程并求解。 变式2．（2025高二下·甘孜期末）已知函数，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】【解答】对求导得，， 令，得，解得. 故答案为：A. 【分析】先对f(x)进行求导，接着代入进行求解即可得到结果. 题型十 在某处的切线方程 例1．（2025高二下·三台月考）曲线在处的切线斜率为　 　. 【答案】3 【解析】【解答】解：曲线，求导可得，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3. 【分析】求导，将代入求值即可. 变式1．（2025·汕头模拟）曲线在点处的切线方程是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率， 则曲线在点处的切线方程是，即. 故答案为：. 【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可. 变式2．（2025高三上·衡阳期中）曲线在处的切线方程是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：当时，，切点为， 易知， 所以， 则所求的切线方程为，即． 故答案为：. 【分析】先求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式方程写出曲线在处的切线方程. 变式3．（2025高三上·沧州期中）已知函数在点处的切线与直线垂直，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意有，所以， 由函数在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故答案为：. 【分析】先利用求导公式求，首先计算函数的导数以得到切线斜率，然后根据函数在指定点处的切线与已知直线垂直这一条件（两条垂直直线的斜率乘积为 - 1），建立方程求解未知参数。 变式4．（2024高二下·自贡期中）已知直线和曲线相切，则切点坐标为　 　，实数a的值为　 　． 【答案】； 【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故填：； 【分析】设直线与曲线相切于点，利用导数的定义可得，根据导数的几何意义可得或，再验证得到答案. 变式5．（2025·郴州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：函数定义域为，，则切线的斜率， 切线的方程为，即. 故答案为：B. 【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可. 题型十一 过某处的切线方程 例1．（2025高三上·泸溪月考）已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）解：由函数， 可得， 则， 所以，曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 则切线方程为， 又因为在直线上， 所以， 则， 解得或， 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为： ​​​​​​​或. 【解析】【分析】（1）先求导，则，再利用代入法得到的值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程得出曲线在点处的切线方程. （2）设切点为，利用点斜式方程得出切线方程为，再结合点在直线上，则根据代入法列出方程得出的值，从而得出过点的切线方程. （1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 例2．（2025·深圳模拟）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点， 所以， 则，所以， 所以切线为， 又因为切线与曲线相切，设切点为， 因为， 所以切线斜率为，解得， 所以， 则， 解得. 故答案为：. 【分析】根据导数的几何意义得出曲线在点处的切线方程，再根据切线过原点得出切线方程为，利用导数的几何意义得出的切点，代入点的坐标计算求出实数a的值. 例3．（2025高二下·镇江期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设切点坐标为，， 所以，切线斜率为， 所以，切线方程为， 因为切线过坐标原点，所以， 整理得， 又因为曲线有2条过原点的切线， 所以该方程有2个实数解， 所以， 解得或. 故答案为：. 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，利用代入法得出切线方程，再结合切线方程过原点且有两解，从而得出实数a的取值范围. 题型十二 公切线 例1．（2025高二下·广州期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 　 　． 【答案】1-ln2 【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。 【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。 变式1．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 变式2．（2025·湖南模拟）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解析】【解答】解：设直线与的切点为 对求导，根据求导公式，得 由导数几何意义，切线斜率 又因为切点在切线上，代入得： ，把代入，化简后可求出，进而得 ，设直线（此时 ）与的切点为 对求导，根据求导公式，得 由导数几何意义，切线斜率① 又因为切点在切线上，代入得： ，化简得② 联立①②，把①中代入②，得，解得 把代入①，，解得 综上，实数的值为. 故答案为：B. 【分析】本题要解决直线是两条曲线公切线时求参数 的值，利用导数的几何意义，即曲线在切点处的导数等于切线斜率，同时切点既在曲线上又在切线上，分别对两条曲线设出切点，结合这些条件列方程求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数的概念及意义 目录 题型一 导数的定义 1 题型二 导数的物理意义 1 题型三 导数的几何性质 2 题型四 切线方程 2 题型五 基本初等函数的导数 2 题型六 导数的四则运算法则 3 题型七 复合函数的导数 4 题型八 导数综合练习 4 题型九 原函数与导函数共存 5 题型十 在某处的切线方程 5 题型十一 过某处的切线方程 5 题型十二 公切线 5 题型一 导数的定义 例1．（2025高二下·会东期中）已知函数在处的导数为，则（　　） A．3 B． C．6 D． 变式．（2025高二下·仙居月考）若函数在处的导数等于，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型二 导数的物理意义 例1．（多选）（2025高二下·河源期中）在某次物理实验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则（　　） A．该玩具车位移的最大值为110 B．该玩具车在内的平均速度为12.5 C．该玩具车在时的瞬时速度为30 D．该玩具车的速度和时间的关系式是 变式1．（2025高二下·东莞期中）函数在时的瞬时变化率为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 （2022高二下·杭州期中）函数在区间上的平均变化率是　 　. 题型三 导数的几何性质 例1．（2025高二下·白云月考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2025高二下·涪城月考）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（　　） ①② ③④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 变式2．（2025高二下·江苏期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（　　） A． B．2 C． D．1 题型四 切线方程 例1．（2025高二下·会东期中）曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 变式1．（2025高二下·自贡期中）已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 题型五 基本初等函数的导数 例1．求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 变式1．（2022高二下·桂林期末）求下列函数的导数. （1）y＝x12； （2）； （3）； （4）y＝3x； （5）y＝log5x. 变式2．（2025高二下·东莞期末）已知函数，则（　　） A． B． C． D． 题型六 导数的四则运算法则 例1．（2024高二下·图木舒克期中） 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 变式1．（2022高二下·湖北期中）求下列函数的导数： （1） （2） 变式2．（2022高二下·广东月考）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 变式3．（2021高二下·武功期中）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3） 题型七 复合函数的导数 例1．（2025高二下·临潭期中）求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 变式1．（2024高二下·黔西南月考）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； 变式2．（2025高三上·杭州期中）已知定义在上的连续函数的导函数，设，则　 　 题型八 导数综合练习 例1．（2024高二下·顺德期中）求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 变式1．求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 题型九 原函数与导函数共存 例1．（2025高二上·长沙期末）已知函数则（　　） A． B． C． D． 变式1．（2025高三上·岳阳期末）已知函数，则（　　） A． B．2 C．3 D． 变式2．（2025高二下·甘孜期末）已知函数，则（　　） A． B．2 C． D． 题型十 在某处的切线方程 例1．（2025高二下·三台月考）曲线在处的切线斜率为　 　. 变式1．（2025·汕头模拟）曲线在点处的切线方程是　 　. 变式2．（2025高三上·衡阳期中）曲线在处的切线方程是　 　． 变式3．（2025高三上·沧州期中）已知函数在点处的切线与直线垂直，则　 　． 变式4．（2024高二下·自贡期中）已知直线和曲线相切，则切点坐标为　 　，实数a的值为　 　． 变式5．（2025·郴州模拟）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 题型十一 过某处的切线方程 例1．（2025高三上·泸溪月考）已知曲线， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 例2．（2025·深圳模拟）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则　 　． 例3．（2025高二下·镇江期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型十二 公切线 例1．（2025高二下·广州期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 　 　． 变式1．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖南模拟）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（　　） A． B． C．1 D．e 1 学科网（北京）股份有限公司 $