5.2.1 基本初等函数的导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

5.2.1 基本初等函数的导数 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列运算错误的是 (　　) A.(2x)'=2xlog2e B.()'= C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'= 解析:选AC　对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;对于B,()'=()'==,B正确;对于C,(sin 1)'=0,C错误;对于D,(log3x)'=,D正确. 2.已知函数f(x)=,则f' (-2) = (　　) A.4 B. C.-4 D.- 解析:选D　∵f'(x)=-,∴f'(-2)=-=-.故选D. 3.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f1'(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 025(x)= (　　) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 解析:选C　因为f0(x)=sin x,所以f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x,f2(x)=f'1(x)=(cos x)'=-sin x,f3(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cos x,f4(x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x,所以最小正周期为4,故f2 025(x)=f1(x)=cos x.故选C. 4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) (　　) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 解析:选A　因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0. 5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析:选B　∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),∴3=1,解得x0=±,∴在点和点处有斜率等于1的切线,∴满足题意的切线有2条.故选B. 6.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=2x 解析:选D　对于A,f'(x)=2x,由x2=2x解得x=0或x=2,所以f(x)存在“巧值点”;对于B,f'(x)=(x>0),作函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知f(x)存在“巧值点”;对于C,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)存在“巧值点”;对于D,f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以f(x)不存在“巧值点”. 7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则数列{xn}的前2 025项的积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由y=xn+1(n∈N*),得y'=(n+1)·xn(n∈N*),所以曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线斜率为k=n+1(n∈N*),所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)(n∈N*),与x轴交点的横坐标为xn=1-=.所以数列{xn}的前n项的积为x1·x2·…·xn=××…×=,所以数列{xn}的前2 025项的积为.故选D. 8.如图1,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥形容器,以2 cm3/s的速度向该容器内注入溶液,随着时间t(单位:s)的增加,圆锥形容器内的液体高度也跟着增加,如图2所示,忽略容器的厚度,则当t=π时,圆锥形容器内的液体高度的瞬时变化率为 (　　) A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s 解析:选A　设注入溶液的时间为t(单位:s)时,溶液的高度为h cm,液面半径为r cm,如图可得△SO1B∽△SOA,则=,即r=h,则由π··h=2t,解得h=.由h'=,当t=π时,h'==,即t=π时,圆锥形容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.故选A. 9.(5分)已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为　　　　.  解析:设切点为(x0,),由y=x2,求导得y'=2x,可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0,由切线倾斜角为,则斜率是1,即2x0=1,解得x0=,故切点的坐标为. 答案: 10.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c=　　　　.  解析:设切点为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1. 所以y'==1,即x0=1, 所以切点为(1,0). 所以1-0+c=0,解得c=-1. 答案:-1 11.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为　　　　.  解析:因为y=x2,所以y'=2x,令y'=2x=1,得x=,所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,切线方程为y-=x-,即x-y-=0,由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==. 答案: 12.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解:s(t)=,故s'(t)=,s'(8)=×=,故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 13.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由. (1)y=ln x;(5分) (2)y=.(5分) 解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞),则对任意的x>0,y'=>0, 所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. (2)函数y=的定义域为{x|x≠0}, 令y'=-=-1,解得x=±1, 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),则-1+b=1,解得b=2. 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1), 则1+b=-1,解得b=-2. 综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2. 14.(10分)设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,且点P处的切线即为l,很明显y0=,y'=-,则y'=-.故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,所以切线l方程为y-y0=-(x-x0),即y-=-(x-x0). 当x=0时,y=;当y=0时,x=2x0, 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2. 很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关. 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 学科网（北京）股份有限公司 $