4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.3.2 第2课时　等比数列的前n项和的应用 [课时跟踪检测] 1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为 (　　) A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 解析:选D　由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,等比数列的首项为3,公比为,蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,S5==(尺). 2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 (　　) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 解析:选B　设每年应还x万元,则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10,得 =M(1+P)10,解得x=. 3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 (　　) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2 解析:选D　由题可知,设数列{an}的前n项和为Sn,所以Sn=a1+a2+…+an,即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1),所以Sn=+,故Sn=2n+1-2+n2. 4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 (　　) A.190 B.191 C.192 D.193 解析:选C　设最上面一层有x盏,则第二层有2x盏,第三层有4x盏,第四层有8x盏,…,第七层有26x盏(层数从上面数).由题意知x+2x+4x+8x+…+26x=x(1+2+22+23+…+26)==127x=381,∴x=3.故底层的盏数为26×3=192. 5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 (　　) A.33 B.64 C.65 D.127 解析:选C　将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…,由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65. 6.(5分)数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为　　　　.  解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1,所以前n项和Sn=a1+a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n. 答案:2n+1-2-n 7.(5分)“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中,去掉所有的数字1,余下的数逐行从左到右排列,得到数列{an}为2,3,3,4,6,4,5,10,…,则数列{an}的前10项和为　　　　;若am=10,m∈N*,则m的最大值为　　　　.  解析:由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n+1行,例如(x+1)2=x2+2x+1,系数分别为1,2,1,对应“杨辉三角”的第三行.令x=1,就可以求出该行的系数和,第1行为20,第2行为21,第3行为22,以此类推即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列的和,则“杨辉三角”的前n行之和为Sn==2n-1,若去除所有1的项,则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4,…,可以看成一个首项为1,公差为1的等差数列{bn},则{bn}的前n项和Tn=,可得当n=4时,T4=10,则数列{an}的前10项和为S6-(2×5+1)=26-12=52;根据“杨辉三角”的分布规律,最后出现am=10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项,所以T9==45. 答案:52　45 8.(10分)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列,a2=4,a3-a1=15. (1)求{an}的通项公式;(6分) (2)若bn=log2an,求{bn}的前n项和Tn.(4分) 解:(1)设等比数列的公比为q, 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,a2=4,a3-a1=15,所以解得a1=1,q=4(舍负),所以an=22n-2. (2)由(1)知an=22n-2,因为bn=log2an=log222n-2=2n-2, 所以Tn=2×1+2×2+2×3+…+2n-n·2=2(1+2+3+…+n)-2n=2×-2n=n2-n. 9.(10分)已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(5分) (2)求数列{cn}的前n项和Sn.(5分) 解:(1)设数列{an}的公比为q,则q3===8,所以q=2,所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1,所以bn=log2an=log22n-1=n-1. (2)cn=an+bn=2n-1+n-1,所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1). 10.(10分)某地牧场牧草深受病害困扰,某科研团队研制了治疗牧草病害的新药,为探究新药的效果,进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草,在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草,200平方米为受害牧草,每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草,每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草.假设试验过程牧草的总面积不变,记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米. (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值;(5分) (2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下,如果试验一直持续,正常牧草的面积不可能超过920平方米.(5分) 解:(1)由题意,在第一次喷药前,正常牧草面积a1=800平方米. 每一次喷药后,正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an+1=(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an　①. 所以a2=800+×800=960-8t. 要使得a2≥900成立,即要使得960-8t≥900成立,解得t≤7.5. 所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7. (2)证明:由题设得t=7,代入①式可得an+1=0.13an+800　②. 用待定系数法,设实数λ满足an+1+λ=0.13(an+λ)　③. 由③-②可得-0.87λ=800,λ=-, 则数列{an+λ}是公比为0.13的等比数列,通项公式为an+λ=(a1+λ)×0.13n-1. 即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ,又因为a1+λ=800-<800-=0,故an<-λ. 又因为87×920=80 040>80 000,所以an<-λ=<=920, 即无论n取多少,正常牧草的面积an不可能超过920平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $