4.1 第1课时 数列的概念与表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教A版）

4.1 第1课时 数列的概念与表示 [课时跟踪检测] 1.下列说法正确的是 (　　) A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列 C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 解析:选C　对A,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;对B,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么 (　　) A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 解析:选BC　分别令2n2-n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2-n=45时,n=5或n=-(舍去);当2n2-n=66时,n=6或n=-(舍去),故45,66是数列{an}的一项. 3.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·n,则该数列是 (　　) A.摆动数列 B.递减数列 C.递增数列 D.常数列 解析:选A　由数列通项公式为an=(-1)n·n知,数列奇数项为负,偶数项为正,故数列为摆动数列,故选A. 4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于 (　　) A.70 B.28 C.20 D.8 解析:选C　由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20. 5.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.若数列{an}满足a1=1,且对任意n∈N*,点(an,an+1)都在函数f(x)的图象上,则a2 027的值为 (　　) x 1 2 3 4 f(x) 3 1 2 4 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　由题意a1=1,a2=f(a1)=f(1)=3,同理a3=f(a2)=f(3)=2,a4=f(2)=1,…,所以{an}是周期为3的周期数列,所以a2 027=a2=3.故选C. 6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 (　　) A.an= B.an=2n-1 C.an=2n2-5n D.an=2n-1 解析:选BCD　对于A,a1=2,a2=1,故不是递增数列,A不符合;对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0,故是递增数列,B符合;对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0,故为递增数列,C符合;对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0,故为递增数列,D符合.故选BCD. 7.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N*),若数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.(2,3) D.[2,3) 解析:选C　因为{an}为递增数列,故解得2<a<3,故选C. 8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 (　　) A.648 B.722 C.800 D.882 解析:选C　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800. 9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 (　　) A.an=sin B.an=|n-3|-1 C.an= D.an=(n-3)2-1 解析:选ABC　an=sin时,a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0,a5=sin=1,满足题意,故A正确; an=|n-3|-1时,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确; an=时,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确; an=(n-3)2-1时,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误. 10.(5分)已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第　　　项.  解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=.令3n-2=22,则n=8. 答案:8 11.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第　　　　项.  解析:an==,当n≥6且n∈N*时,an>0,且递减;当n≤5且n∈N*时,an<0,且递减.∴当n=6时,an最大. 答案:6 12.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项是　　　　,最大项是　　　　.  解析:an===1+(n∈N*),因为442<2 024<452,所以当n≤44时,数列{an}递增,且an>1;当n≥45时,数列{an}递增,且an<1.所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44. 答案:a45　a44 13.(5分)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)=　　　　;若bn=,则bn的最大值为　　　　.  解析:由题设φ(2)=1,则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数,故φ(8)=4.在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n-1个,即φ(2n)=2n-1,所以bn==,则bn+1-bn=-=,当n≤2时bn+1-bn>0,当n≥3时bn+1-bn<0,即b1<b2<b3>b4>b5>…,所以bn的最大值为b3==. 答案:4　 14.(10分)已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 解:an+1-an=-=,当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4, 当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…, 所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时递增,在n≥5(n∈N*)时递减, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=,又a1<a2<0,当n≥3(n∈N*)时,an=≥0, 所以数列{an}的最小项为a1=-1. 15.(10分)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*). (1)若an≥,求n的最小值;(4分)(2)若bn=an-,试判断{bn}的单调性.(6分) 解:(1)由题可知an=(n∈N*),若an≥,则an=≥,解得n≥5,故n的最小值为5. (2)因为bn=an-=-=1--,又n∈N*,所以2n≥2,≤,所以1-≥. 令g(x)=x-,取x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,则g(x1)-g(x2)=x1--=<0, 所以g(x1)<g(x2),所以g(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, 所以bn=1--(n∈N*)是递增的,即数列{bn}是递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 $